Wybory i matematyka, czyli dziel i rządź
Problem wyboru zawsze był przed nami. Człowiek prymitywny także stanął przed dylematem: w jakim świetle żyć? Z drugiej strony wybór przywódców plemiennych był prostszy: rządził ten, który zabił konkurenta. Dziś jest trudniej. To też jest dobre.
Łacińskie zdanie użyte w tytule artykułu oznacza „dziel i rządź”. Zawsze był używany. Wznieć kłótnię w narodzie, a łatwiej będzie ci ją wygrać. Hiszpańscy konkwistadorzy z XVI i XVII wieku umiejętnie skierowali niektóre plemiona indiańskie przeciwko innym. Pod koniec XVIII wieku rosyjski ambasador Repnin osiągnął wiele: udało mu się wywołać niepokoje w ostatnich latach niepodległej Polski. Podobnie Brytyjczycy w swoim dawnym imperium, a wojna jugosłowiańska w 1990 roku rozpoczęła się od walki Serbów z Chorwatami i vice versa.
Znamy przykłady celowego podżegania do konfliktów w obrębie jednego kraju. Na szczęście w dzisiejszej Polsce tak nie jest. Partia rządząca jest przykładem łagodności, powściągliwości i zdrowego rozsądku, przepełnionego szacunkiem dla opozycji, poszanowaniem prawa, konstytucji i woli prostego człowieka. Na forum międzynarodowym wygrywamy, często zerem (pamiętne zwycięstwo 27:0). W sporcie radzimy sobie dobrze: pamiętamy dramatyczny mecz hokejowy z Kamerunem. Nie ma skandali, politycy są krystalicznie czyści. Gdzie oni mają w głowach własne kieszenie! Partia jest na czele. Pomożemy!
Przestań, przestań. Nie jesteśmy magazynem dziennikarskim. Zobaczmy, jak można nagiąć proces decyzyjny w majestacie matematyki i… logiki. Pełny opis byłby dużym zadaniem, bardziej dziennikarskim niż naukowym.
Możliwe są następujące opcje.
Po pierwsze, manipulowanie podziałem kraju na okręgi.
Po drugie, wybór sposobu przeliczania głosów na mandaty parlamentarne lub (np. w przypadku wyborów prezydenckich) na mandaty wyborcze.
Po trzecie: interpretacja, kiedy głos jest ważny, a kiedy nie.
Nie wspominam tu o jawnych nadużyciach, takich jak manipulacja niewiedzą wyborców (w PRL puste głosowanie oznaczało głosowanie na kandydatów znajdujących się na pierwszych miejscach list), oszustwa przy liczeniu głosów i przesyłaniu powyższych danych.
Rozpocznę . Co to za dziwne określenie? Wyjaśniam w nieco okrężny sposób.
Twoi czytelnicy prawdopodobnie znają wynik w tenisie. Dostajemy punkty, partie i sety. Aby wygrać grę, musisz zdobyć co najmniej cztery piłki (punkty), ale co najmniej o dwie więcej niż przeciwnik. Wyjątkiem jest tie-break – rozgrywany jest do siedmiu punktów wygranej (piłek), również z zasadą przewagi dwóch piłek. Wygrane piłki są dziwnie ponumerowane: 15, 30, 40, wtedy używamy tylko określenia „przewaga – równowaga”.
1. Lewy klasyczny gerrymandering. Globalna równowaga zmienia się w zwycięstwo niebieskich. Zgadza się: w każdym okręgu okręgu północnego niebiescy mają tylko 25% poparcia, w pozostałych nadal - ale im to nie przeszkadza.
Klejnoty są zbierane w zestawach. Aby wygrać seta, musisz mieć co najmniej sześć gemów i co najmniej o dwa więcej niż przeciwnik. Przy wyniku 6:6 zazwyczaj rozgrywany jest tie-break. Mecze rozgrywane są do dwóch lub trzech wygranych setów. „Do dwóch wygranych” oznacza, że wygrywa ten, kto wygra dwa sety. Wynik może więc wynosić 2:0 lub 2:1 (i symetrycznie 0:2, 1:2). Te zasady oznaczają, że nie musisz zdobywać większej liczby piłek (punktów), aby wygrać mecz. Mówiąc najprościej, musisz wygrać te ważniejsze. Skrajnym przykładem jest sytuacja, w której zawodnik A wygrywa pierwszego seta 6:0, a dwóch pozostałych przegrywa 4:6. Przegrywa mecz pomimo wygrania 14 gier i 12 wygranych przez przeciwnika.
Nawiążę do tego co napisałem przed chwilą. W tenisie jest więcej i mniej ważnych momentów. Dobry tenisista skupia się na tym, co najważniejsze.
Los milionów w łapach salamandry
Przejdźmy do wyborów politycznych. Mówiąc bardziej ogólnie, do wyborów, o których decydują tysiące lub miliony.
Najpierw musisz mieć kraj dla okręgów wyborczych. Ponieważ? Nieważne jak? O nie! Pierwszym, który wpadł na pomysł, jak to zrobić, aby zwiększyć szanse własnej partii, był Elbridge Jerry, amerykański polityk sprzed dwustu lat. Jedno z zaproponowanych przez niego kół miało kształt... salamandry, a połączenie jego imienia z tym płazem ogoniastym doprowadziło do powstania takiego określenia. Całkiem nieźle sprawdza się w okręgach jednomandatowych, więc nie ma bezpośredniego zastosowania w Polsce. W przypadku biura wieloosobowego sytuacja jest zupełnie inna. Od czasu do czasu można się poparzyć. I ciekawa rzecz.
2. Mistrz oszustwa. Po lewej: 40% globalnego poparcia zamieniło się w zwycięstwo 4-2. Po prawej: Geometria świetnie sobie radzi, zamieniając 32% wsparcia w globalne zwycięstwo 4:3.
Wyobraźmy sobie więc gęsto zaludniony kraj o bardzo regularnych granicach: idealny kwadrat z małymi polnymi miasteczkami w środku. Miasto i wybory burmistrza to najlepsza analogia, ale matematycznie to nie ma znaczenia. Partia rządząca zaznaczona na niebiesko ma poparcie w sektorach zaznaczonych na niebiesko na Figa. 1. Zieloni prowadzą w zielonych kwadratach. Skoro mówimy o okręgach jednomandatowych, nie ma znaczenia, jaka jest przewaga. Jesteśmy połączeni w skali kraju, tyle niebieskich kwadratów, ile zielonych. Ale blues rządzi i dzieli kraj na regiony. Istnieje osiem okręgów wyborczych (1). Jakie są wyniki głosowania? Nieoczekiwany! Niebiescy gracze wygrywają w A, C, E, F, G, czyli w pięciu z ośmiu kręgów. W przypadku okręgów jednomandatowych mają one przewagę 5:3 w całym kraju (ewentualnie w miastach, jeśli są to wybory na burmistrza).
geografia wyborcza ma to ważną zaletę dla partii, w której skandale są na porządku dziennym. Wyobraźmy sobie, że w okręgu B wybuchła afera - burmistrz zdefraudował pieniądze z budżetu i powiedział, że wszystko jest w porządku. Wielu wyborców odwróciło się od niego plecami. O ile wcześniej głosy rozkładały się prawie równo (51:49 na jedną lub drugą partię), to teraz w okręgu B w każdym małym okręgu zielony otrzymał 75%, a niebieski tylko 25. Jednak w skali kraju nie boli w ogóle (Tabela 1). Używając analogii do tenisa, stracili tylko pusty punkt.
| okręg wyborczy | Ciemnoniebieski | Zeloni | Kto wygrywa |
| A | 251 | 249 | Ciemnoniebieski |
| B | 100 | 300 | Zeloni |
| C | 251 | 249 | Ciemnoniebieski |
| D | 198 | 202 | Zeloni |
| E | 251 | 249 | Ciemnoniebieski |
| F | 251 | 249 | Ciemnoniebieski |
| G | 251 | 249 | Ciemnoniebieski |
| H | 149 | 151 | Zeloni |
| Suma głosów | 1702 | 1898 | 5 do 3 za niebieski |
Tabela 1. Liczba głosów 1898: 1702 na korzyść zielonych, ale 5:3 mandaty w parlamencie na niebieskich! W wyborach prezydenckich w USA zdarza się, że zwycięzca otrzymuje mniej głosów.
Pojedynczy system ma swoje zalety i wady. Wywodzi się z angielskiej tradycji parlamentarnej. Zaproponowano różnorodne wzory matematyczne, aby nieznacznie ograniczyć zasadę „zwycięzca bierze wszystko”. Najczęstszą zasadą była „największa część ułamkowa”. Załóżmy, że w regionie Grodziska Nadmorskiego rywalizują cztery partie A, B, C i D. Miejsc do zwycięstwa jest siedem. W wyborach partie te otrzymały odpowiednio 9934 5765, 4031 1999, 21 729 i XNUMX XNUMX głosów; łącznie XNUMX XNUMX. Oczekujemy:
7∙9934/21729= 3,20
7∙5765/21729= 1,86
7∙4031/21729= 1,30
7∙1999/21729= 0,64
Jasne; gdyby Rzeczpospolita była, jak mówi książę Radziwiłł w Potopie, płótnem czerwonym, partie rozszarpałyby ją w stosunku 320:186:130:64. Ale jest tylko siedem miejsc do udostępnienia. Partie A zasługują na trzy miejsca (ponieważ iloraz jest większy niż 3), partie B, C zasługują na jedno miejsce. Jak mogę wybrać pozostałe dwa? Proponuje się następujące rozwiązanie: oddać go tym partiom, którym „najmniej brakuje pełnego głosu”, czyli tym, które mają największy udział ułamkowy. Dlatego mieszczą się w częściach B, D. Przedstawmy wynik na przejrzystym wykresie Figa. 3.
rys.3 Metoda „największej części ułamkowej”. Koalicja B + C + D pokonuje Partię A
Co będzie tzw. reguła d'Ondta? Omówię to nieco szerzej. Polecam jako ćwiczenie. Wynik włączony Figa. 4.
ryc. 4 Wyniki metody d'Hondta. Partia A rządzi sama.
W następnym łatwym ćwiczeniu radzę czytelnikom zrobić coś takiego: wyobraź sobie, że partie B, C i D zgadzają się i idą do urn w jednym bloku — nazwij go E. Następnie, zgodnie z regułą d'Hondta, zabierają jedną partia A ma mandat, tj. wynik A:E to 3:4. Konkluzja znana jest od wielu lat jako przysłowie: Zgoda tworzy, niezgoda niszczy.
Na szczęście przykłady, które tu podaję, są fikcyjne i wszelkie podobieństwo do znanych krajów jest całkowicie przypadkowe.
D'Ond
Jak działa wspomniana metoda d'Hondta? Najlepiej nadaje się do tego przykład. Załóżmy, że konkretny okręg wyborczy głosował w wyborach biskupich, jak pokazano. Tabela 2.
| Nazwa imprezy | Głosy, N. | Nie / 2 | Nie / 3 | Nie / 4 | Nie / 5 |
| Partia Pełnego Dobrobytu | 10 000 | 5000 | 3333 | 2500 | 2000 |
| impreza obfitości | 6600 | 3300 | 2200 | 1650 | 1320 |
| Lokomotywa postępu | 4800 | 2400 | 1600 | 1200 | 960 |
| Oszuści i oszuści | 3600 | 1800 | 1200 | 900 | 720 |
Tabela 2. Wyniki głosowania w okręgu Klapucko Małe w wyborach w Klapadocsach.
Okazało się, że partii oszustów i gochstaplerów udało się tak dobrze tylko w Klaputskim Małym. Globalnie nie zdobyli 5%, więc ich wyniki nie są brane pod uwagę. Resztę układamy po kolei, nie zapominając z jakiej partii pochodzą:
10 000 (PTD), 6600 (SO), 5000 (PTD), 4800 (LP), 3333 (PTD), 3300 (SO), 2500 (PTD), 2400 (LP), 2200 (SO) itp. Przydzielamy bilety w określonej kolejności. Wynik w dużej mierze zależy od liczby dostępnych biletów.
| 3 miejsc | PTD 2, SO 1, LP 0 |
| 4 miejsc | PTD 2, SO 1, LP 1 |
| 5 miejsc | PTD 3, SO 1, LP 1 |
| 6 miejsc | PTD 3, SO 2, LP 1 |
| 7 miejsc | PTD 4, SO 2, LP 1 |
| 8 miejsc | PTD 4, SO 2, LP 2 |
| 9 miejsc | PTD 4, SO 3, LP 2 |
Tabela 3. Rozkład mandatów ze względu na ich liczbę.
Mówi się, że taki system wygładza rezultaty – ogranicza możliwą dominację jednej ze stron. Sprawa jest jednak bardziej skomplikowana. Wszystko zależy od konkretnych danych. Nie mam już miejsca na dłuższe dyskusje, zwrócę uwagę tylko na dwa ciekawostki:
1. Gdyby oszuści i oszuści osiągnęli krajowy próg wyborczy, wyniki mogłyby być inne. Nie zmieniliby się, gdyby do zdobycia były trzy lub cztery mandaty, ale gdyby do parlamentu weszło pięć osób z okręgu, wynik byłby następujący: PTD 2, SO 1, PL 1, JG 1. Partia PTD utraciłaby absolutne prawo . większość. Działa to na odwrót: jeśli z drużyny wyłamie się mała frakcja, wszyscy przegrywają, łącznie z tymi, którzy się z tym nie zgadzają.
2. Gdyby SO i LP porozumieli się i poszli razem do urn, to w żadnym wypadku nie byliby gorsi, ale zazwyczaj lepsi.
Zobaczmy także, jak metoda d'Hondta traktuje tę sytuację Figa. 2gdy na oddziale są dwa lub trzy wolne miejsca. Przypomnę, że w przypadku okręgów jednomandatowych dało to mocne zwycięstwo Niebieskim. W przypadku debla następuje całkowita porażka, ale w przypadku trójki ponownie wygrywa.
| okręg wyborczy | Ciemnoniebieski | Zeloni | Metoda d'Ondta |
| A | 251 | 249 | Przełożenia: 251/249; harmonogram 1-1 |
| B | 100 | 300 | 300/100; 0-2 |
| C | 251 | 249 | 251/249; 1-1 |
| D | 198 | 202 | 202/198; 1-1 |
| E | 251 | 249 | 251/249; 1-1 |
| F | 251 | 249 | 251/249; 1-1 |
| G | 251 | 249 | 251/249; 1-1 |
| H | 149 | 151 | 151/149; 1-1 |
| Suma głosów | 1702 | 1898 | Niebieski 7 - Zielony 9 |
Tabela 4. Sytuacja z ryc. 2, ale z okręgami dwumandatowymi. Porażka niebieskich 7:9.
| okręg wyborczy | Ciemnoniebieski | Zeloni | Metoda d'Ondta |
| A | 251 | 249 | Przełożenia: 251/249/125,5; wykres 2-1 |
| B | 100 | 300 | 300/150/100; 0,5-2,5 |
| C | 251 | 249 | 251/249/125,5; 2-1 |
| D | 198 | 202 | 202/198/101; 1-2 |
| E | 251 | 249 | 251/249/125,5; 2-1 |
| F | 251 | 249 | 251/249/125,5; 2-1 |
| G | 251 | 249 | 251/249/125,5; 2-1 |
| H | 149 | 151 | 151/149/75,5; 1-2 |
| Suma głosów | 1702 | 1898 | Niebieski 12,5 - Zielony 11,5 |
Tabela 5. Sytuacja z ryc. 2, ale z okręgami trzymandatowymi.
Do niektórych cech zaliczam „geometrię” w głosach kwalifikujących jako ważną lub nieistotną. W wielu krajach znakiem akceptacji jest „ptaszek”, czyli v, a czasami Y. Mamy x, co bardziej kojarzy się z przekreśleniem (a zatem z odrzuceniem). Ustawodawca chciał to doprecyzować i podał quasi-matematyczną definicję – „dwie przecinające się linie”, interpretując, że dwie linie litery v nie przecinają się.
Po pierwsze, w matematyce „przecinanie się” oznacza „mieć punkt wspólny” – to powinno być szczególnie kojarzone z osobami młodszymi (poniżej pięćdziesiątki), bo taka jest teraz szkoła. Jeśli jednak ktoś nie wierzy w matematykę, to może pamięta, że zawracanie na drodze to też skrzyżowanie.
Lepiej pozostawić niedokładną definicję: każdy znak, który jednoznacznie wskazuje na wybór kandydata na stanowisko, które kiedyś było honorowe, ale obecnie ma jedynie pejoratywne skojarzenie.
