pięć razy w oko

Pod koniec 2020 roku na uczelniach i w szkołach odbyło się kilka wydarzeń, które zostały przełożone z… marca. Jednym z nich było „obchody” Dnia Pi. Na ten temat 8 grudnia wygłosiłem zdalny wykład na Uniwersytecie Śląskim, a niniejszy artykuł jest podsumowaniem wykładu. Cała impreza rozpoczęła się o 9.42, a mój wykład zaplanowano na 10.28. Skąd ta dokładność? To proste: 3 razy pi wynosi około 9,42, pi do drugiej potęgi wynosi około 2, a godzina 9,88 do potęgi 9 to 88 do potęgi 10...

Zwyczaj honorowania tej liczby jest wyrażająca stosunek obwodu koła do jego średnicy i czasami nazywana jest stałą Archimedesa (a także w kulturach niemieckojęzycznych) wywodzi się z USA (Zobacz też: ). 3.14 marca „w stylu amerykańskim” o 22:22, stąd pomysł. Polskim odpowiednikiem mógłby być 7 lipca, bo ułamek 14/XNUMX dobrze przybliża π, o czym… Archimedes już wiedział. Cóż, XNUMX marca to najlepszy czas na imprezy poboczne.

Te trzy i czternaście setnych to jeden z niewielu matematycznych przekazów, jakie nam ze szkoły pozostały na całe życie. Każdy wie, co to oznacza”pięć razy w oko„. Jest to tak zakorzenione w języku, że trudno wyrazić to inaczej i równie wdzięcznie. Kiedy zapytałem w warsztacie samochodowym, ile może kosztować naprawa, mechanik chwilę się zastanowił i powiedział: „pięć razy po osiemset złotych”. Postanowiłem wykorzystać sytuację. „Masz na myśli przybliżone przybliżenie?” Mechanik pewnie pomyślał, że źle słyszę, więc powtórzył: „Nie wiem dokładnie ile, ale pięć razy na oko będzie 800”.

.

O czym to jest? W pisowni sprzed II wojny światowej „nie” było używane razem i tak je zostawiłem. Nie mamy tu do czynienia z przesadnie sztywną poezją, chociaż podoba mi się pomysł, że „złoty statek kołysze szczęściem”. Zapytaj uczniów: Co oznacza ta myśl? Wartość tego tekstu leży jednak gdzie indziej. Liczba liter w kolejnych wyrazach to cyfry rozwinięcia liczby pi. Przyjrzyjmy się:

Π ≈ 3,141592 653589 793238 462643 383279 502884 197169 399375 105820 974944 592307 816406 286208 998628 034825 342117 067982 148086 513282 306647 093844 609550 582231 725359 408128 481117 450284 XNUMX

W 1596 r. holenderski naukowiec niemieckiego pochodzenia Ludolfa van Ceulena obliczono wartość pi z dokładnością do 35 miejsc po przecinku. Liczby te zostały następnie wyryte na jego grobie. Poświęciła wiersz liczbie pi i naszej laureatce Nagrody Nobla, Wysława Szymborska. Szymborską zafascynowała nieokresowość tej liczby i fakt, że z prawdopodobieństwem 1 pojawi się w niej każdy ciąg liczb, na przykład nasz numer telefonu. O ile pierwsza własność jest nieodłączna od każdej liczby niewymiernej (o czym powinniśmy pamiętać ze szkoły), o tyle druga jest ciekawym faktem matematycznym, który jest trudny do udowodnienia. Możesz nawet znaleźć aplikacje, które oferują: podaj mi swój numer telefonu, a powiem ci, gdzie on się znajduje w pi.

Gdzie jest okrągłość, tam jest sen. Jeśli mamy okrągłe jezioro, to okrążenie go jest 1,57 razy dłuższe niż pływanie. Oczywiście nie oznacza to, że będziemy płynąć półtora do dwóch razy wolniej niż będziemy płynąć. Dzieliłem rekord świata na 100 m z rekordem świata na 100 m. Co ciekawe, u mężczyzn i kobiet wynik jest prawie taki sam i wynosi 4,9. Pływamy 5 razy wolniej niż biegniemy. Wioślarstwo to zupełnie co innego - ale ciekawe wyzwanie. Ma dość długą fabułę.

Uciekając przed ścigającym go Złoczyńcą, przystojny i szlachetny Dobry popłynął nad jezioro. Złoczyńca biegnie wzdłuż brzegu i czeka, aż zmusi go do wylądowania. Oczywiście biegnie szybciej niż Dobry wiosłami, a jeśli biegnie płynnie, Dobry jest szybszy. Tak więc jedyną szansą dla Zła jest zdobycie Dobra z brzegu - celny strzał z rewolweru nie wchodzi w grę, bo. Dobro ma cenne informacje, które Zło chce poznać.

Strategia Gooda jest następująca. Pływa wzdłuż jeziora, stopniowo zbliżając się do brzegu, ale zawsze starając się znaleźć po przeciwnej stronie Złego, który chaotycznie biegnie w lewo i w prawo. Pokazano to na rysunku. Niech pozycją wyjściową Zła będzie Z₁, a Dobre to środek jeziora. Kiedy Zly przenosi się do Z₁, Dobra popłynie do D.₁kiedy Bad jest w Z₂, Dobrze na D₂. Będzie płynął zygzakiem, ale zgodnie z zasadą: jak najdalej od Z. Jednak w miarę oddalania się od środka jeziora Dobro musi poruszać się po coraz większych kręgach i w pewnym momencie nie może już utrzymać zasadę „bycia po drugiej stronie Zła”. Następnie z całych sił popłynął w stronę brzegu, mając nadzieję, że Zły nie opłynie jeziora. Czy Dobro odniesie sukces?

Odpowiedź zależy od tego, jak szybko Dobry może wiosłować w porównaniu z kosztem nóg Złego. Załóżmy, że Zła osoba biegnie z prędkością jednokrotną prędkości Dobrej osoby na jeziorze. W rezultacie największy okrąg, po którym Dobro może wiosłować, aby stawić czoła Złu, ma promień jednokrotnie mniejszy niż promień jeziora. Tak więc na rysunku mamy. W punkcie W nasz Dobry zaczyna wiosłować w stronę brzegu. To musi odejść 

 z prędkością

Potrzebuje czasu.

Zły goni wszystkich swoimi najlepszymi nogami. Musi pokonać połowę okręgu, co zajmie mu sekundy lub minuty, w zależności od wybranych jednostek. Jeśli to coś więcej niż szczęśliwe zakończenie:

Dobry odejdzie. Proste rachunki pokazują, jak powinno być. Jeśli zła osoba biegnie szybciej niż 4,14 razy szybciej niż dobra osoba, kończy się to źle. I tutaj w grę wchodzi także nasza liczba pi.

Piękne jest to, co okrągłe. Spójrzmy na zdjęcie trzech ozdobnych talerzy - mam je po rodzicach. Jaki jest obszar krzywoliniowego trójkąta między nimi? To jest proste zadanie; odpowiedź jest na tym samym zdjęciu. Nie dziwi nas, że pojawia się we wzorze – w końcu tam, gdzie jest okrągłość, jest i pi.

Użyłem prawdopodobnie nieznanego słowa: Tak nazywa się liczba pi w kulturze niemieckojęzycznej, a wszystko to za sprawą Holendrów (właściwie Niemca, który mieszkał w Holandii – narodowość nie miała wówczas znaczenia), Ludolf z Seuleny... W 1596r. obliczył 35 cyfr jego rozwinięcia do postaci dziesiętnej. Zapis ten przetrwał do roku 1853, kiedy to Williama Rutherforda naliczono 440 miejsc. Rekordzistą w ręcznych obliczeniach jest (prawdopodobnie od zawsze) Williama Shanksa, który po wielu latach pracy opublikował (w 1873 r.) rozszerzenie do 702 cyfr. Dopiero w 1946 roku stwierdzono, że ostatnie 180 cyfr było nieprawidłowych, ale tak pozostało. 527 jest poprawne. Znalezienie samego błędu było interesujące. Wkrótce po opublikowaniu wyniku Shanks podejrzewał, że „coś jest nie tak” – w opracowaniu było podejrzanie mało siódemek. Niesprawdzona jeszcze (grudzień 2020 r.) hipoteza głosi, że wszystkie liczby powinny pojawiać się z równą częstotliwością. To skłoniło D. T. Fergusona do ponownego rozważenia obliczeń Shanksa i znalezienia błędu ucznia!

Później kalkulatory i komputery pomogły ludziom. Aktualnym (grudzień 2020) rekordzistą jest Tymoteusz Mullican (50 bilionów miejsc po przecinku). Obliczenia zajęły... 303 dni. Zagrajmy: ile miejsca zajęłaby ta liczba, gdyby została wydrukowana w standardowej książce? Do niedawna drukowana „strona” tekstu liczyła 1800 znaków (30 wierszy po 60 wierszy). Zmniejszmy liczbę znaków i marginesów strony, upchnijmy 5000 znaków na stronie i wydrukujmy książki po 50 stron. Zatem XNUMX bilionów znaków zajęłoby dziesięć milionów książek. Nieźle, prawda?

Pytanie brzmi: jaki jest sens takiej walki? Z czysto ekonomicznego punktu widzenia, dlaczego podatnik miałby płacić za taką „rozrywkę” matematyków? Odpowiedź nie jest skomplikowana. Pierwszy, z Seulena wynalazł puste miejsca do obliczeń, przydatne wówczas do obliczeń logarytmicznych. Gdyby mu powiedzieli: proszę zbudować blankiety, odpowiedziałby: dlaczego? Podobne polecenie: Jak wiadomo, odkrycie to nie było całkowicie przypadkowe, ale stanowiło produkt uboczny badań innego typu.

Po drugie, przeczytajmy, co pisze Tymoteusz Mullican. Oto reprodukcja początku jego twórczości. Profesor Mullican zajmuje się cyberbezpieczeństwem, a liczby pi to małe hobby, podczas którego po prostu testował swój nowy system cyberbezpieczeństwa.

Ale to 3,14159 w zupełności wystarczy w inżynierii, to inna sprawa. Zróbmy proste obliczenie. Jowisz znajduje się w odległości 4,774 Tm od Słońca (terametr = 1012 metrów). Aby obliczyć obwód takiego koła o takim promieniu z absurdalną dokładnością do 1 milimetra, wystarczyłoby przyjąć π = 3,1415926535897932.

Poniższe zdjęcie przedstawia ćwierćkola wykonane z klocków Lego. Użyłem podkładek 1774 i było pi w okolicach 3,08. Nie najlepiej, ale czego się spodziewać? Z kwadratów nie da się zrobić koła.

Dokładnie. Liczba π znana jest z tego, że kwadratowe koło - problem matematyczny, który czekał na swoje rozwiązanie od ponad 2000 lat - od czasów greckich. Czy potrafisz za pomocą kompasu i linijki zbudować kwadrat, którego pole jest równe polu danego koła?

Określenie „kwadrat koła” weszło także do języka potocznego jako symbol czegoś niemożliwego. Naciskam klawisz, żeby zapytać, czy to próba zapełnienia rowu wrogości dzielącego obywateli naszego pięknego kraju? Ale już unikam tego tematu, bo chyba dobrze czuję się tylko w matematyce.

I znowu to samo - rozwiązanie problemu kwadratury koła nie pojawiło się w taki sposób, że autor rozwiązania, Charlesa Lindemanna, w 1882 roku był zdeterminowany i ostatecznie mu się udało. W pewnym stopniu tak, ale było to skutkiem ataku z szerokiego frontu. Matematycy nauczyli się, że liczby występują w różnych typach. Nie tylko liczby całkowite, wymierne (tj. ułamki) i niewymierne. Niezmierzalność może być również lepsza lub gorsza. Być może pamiętamy ze szkoły, że liczbą niewymierną jest √2, liczba wyrażająca stosunek długości przekątnej kwadratu do długości jego boku. Jak każda liczba niewymierna, ma nieokreślone rozszerzenie. Przypomnę, że rozwinięcie okresowe jest właściwością liczb wymiernych, tj. prywatne liczby całkowite:

Tutaj sekwencja liczb 142857 powtarza się w nieskończoność.Dla √2 tak się nie stanie - to część irracjonalności. Ale ty możesz:

(frakcja trwa wiecznie). Widzimy tu pewien wzór, ale innego typu. Liczba Pi nie jest nawet tak powszechna. Nie da się tego uzyskać rozwiązując równanie algebraiczne – czyli takie, w którym nie ma pierwiastka kwadratowego, żadnego logarytmu, żadnej funkcji trygonometrycznej. To już pokazuje, że nie da się tego skonstruować – rysowanie okręgów prowadzi do funkcji kwadratowych, a linii – prostych – do równań pierwszego stopnia.

Być może odeszłam od głównego wątku. Dopiero rozwój wszelkiej matematyki umożliwił powrót do korzeni – do starożytnej pięknej matematyki myślicieli, którzy stworzyli dla nas europejską kulturę myślenia, tak dziś przez niektórych wątpliwą.

Z różnorodnych reprezentatywnych wzorów wybrałem dwa. Pierwszy z nich kojarzymy z nazwiskiem Gottfrieda Wilhelma Leibniza (1646-1716).

Ale był znany (model, nie Leibniz) średniowiecznemu uczonemu hinduskiemu Madhawie z Sangamagramu (1350-1425). Przepływ informacji w tamtych czasach nie był wielki – łącza internetowe często były wadliwe, a do telefonów komórkowych nie było baterii (bo elektroniki jeszcze nie wynaleziono!). Formuła jest piękna, ale nieprzydatna do obliczeń. Ze stu składników uzyskuje się „tylko” 3,15159.

jest trochę lepszy wzór Viète’a (ten z równań kwadratowych), a jego wzór jest łatwy do zaprogramowania, ponieważ kolejnym wyrazem w iloczynie jest pierwiastek kwadratowy poprzedniego plus dwa.

Wiemy, że okrąg jest okrągły. Można powiedzieć, że jest to runda stuprocentowa. Matematyk zapyta: czy coś nie może być okrągłe o 100 procent? Podobno jest to oksymoron, czyli sformułowanie zawierające ukrytą sprzeczność, np. gorący lód. Ale spróbujmy zmierzyć, jak okrągłe mogą być liczby. Okazuje się, że dobrą miarę daje następujący wzór, w którym S jest polem, a L jest obwodem figury. Przekonajmy się, że okrąg jest naprawdę okrągły, że sigma wynosi 1. Pole koła to obwód. Wstawiamy... i sprawdzamy, co jest poprawne. Jak okrągły jest kwadrat? Obliczenia są równie proste, że nawet ich nie podam. Weźmy sześciokąt foremny wpisany w okrąg o promieniu. Obwód wynosi oczywiście 6.

Polak

A co ze zwykłym sześciokątem? Jego obwód wynosi 6, a pole wynosi XNUMX

Więc mamy

co jest w przybliżeniu równe 0,952. Sześciokąt jest w ponad 95% „okrągły”.

Ciekawy wynik uzyskuje się przy obliczaniu okrągłości stadionu sportowego. Zgodnie z przepisami IAAF proste i zakręty muszą mieć długość 40 metrów, chociaż dopuszczalne są odchylenia. Pamiętam, że Bislet Stadium w Oslo był wąski i długi. Piszę „był”, bo nawet na nim biegałem (jak na amatora!), ale ponad XNUMX lat temu. spójrzmy:

Jeśli łuk ma promień 100 metrów, promień tego łuku wynosi metry. Powierzchnia trawnika wynosi metry kwadratowe, a obszar na zewnątrz (na którym znajdują się deski do skakania) sumuje się do metrów kwadratowych. Umieśćmy to we wzorze:

Czy zatem okrągłość stadionu sportowego ma coś wspólnego z trójkątem równobocznym? Ponieważ wysokość trójkąta równobocznego jest równa liczbie jego boku. To przypadkowa zbieżność liczb, ale jest miło. Lubię to. A co z czytelnikami?

No cóż, dobrze, że jest okrągły, choć niektórzy mogą się kłócić, bo wirus, który dotyka nas wszystkich, jest okrągły. Przynajmniej tak to rysują.