matematyka kolorów
Jeden z czytelników oskarżył mnie o czynienie aluzji politycznych w moich artykułach matematycznych. Cóż, mówiłem tylko o treningu. Szkoła zawsze była tematem politycznym, nawet jeśli miała być apolityczna pod względem oprogramowania. Na początku kwietnia, po wprowadzeniu drastycznych ograniczeń w naszym życiu publicznym, gwałtownie wzrosło zapotrzebowanie na kształcenie na odległość. Część mojego artykułu jest odpowiedzią na cykl wykładów telewizyjnych dla uczniów szkół podstawowych. Wywołały burzę w świecie nauczania matematyki – były pełne bzdur, jak stara beczka z wodą wrzucona do jeziora. Żeby nikt nie zarzucał mi, że upolityczniam, nie napiszę, który to był kanał telewizyjny.
Tekst jest fragmentaryczny – zaczynam od rozmowy dla małych dzieci, potem przechodzę do wywodów dla dorosłych i odwrotnie. To nie jest po to, żeby cię zanudzić. Najpierw dla dzieci. To mój głos w dyskusji o tym, jak (no, jak można) rozmawiać z dziećmi o „Królowej Nauk”.
Ćwiczenie 1: Spójrz na moją pierwszą łamigłówkę. Co na nim widzisz?
Gdzie mieszkasz? Ocena. Myślicie, że kolory naszych obramowań wybrałem przypadkowo, czy potraficie znaleźć wyjaśnienie, dlaczego „góra” jest niebiesko-zielona, a „dół” to biała figura? Ale dlaczego napisałem „powyżej” i „poniżej”? W końcu te części świata nazywają się… no właśnie, jak dokładnie? A pozostali dwaj? A może wiesz, dlaczego międzynarodowe oznaczenia czterech punktów kardynalnych to N, E, W, S?
Ćwiczenie 2. Spójrz na znaki drogowe (1). Które możemy nazwać kwadratem? Dlaczego pierwszy i trzeci mają zaokrąglone rogi? Dowiedz się, które znaki drogowe mają kształt trójkątny, okrągły (okrągły) i ośmiokątny. Dlaczego jeden trójkątny znak różni się od pozostałych? Dlaczego tylko jeden ośmiokątny znak?
1. Które z tych symboli są kwadratowe?
Ćwiczenie 3. Przejdź do trybu online. Podnieś dowolną przeglądarkę. Wpisz „kwadrat”, następnie wybierz „zdjęcia” i… obejrzyj znajdujące się tam obrazki. Nie wszystkie, ale tylko kilkanaście. Wybierz ten, który najbardziej Ci się podoba. Wybrałeś? Spróbuj teraz przekonaj mniedlaczego ten. Może sam nie wiesz? A może wiesz?
Ćwiczenie 4. Teraz spójrz na moją zagadkę numer 2. Czy widzisz w nim kwadraty? Dokładnie - jest czerwony w środku. Stają się większe. Pierwsza, malutka, po lewej ma jedno oko, jeden "guzik".
Odpowiem od razu. Kwadrat magiczny to kwadrat, w którym suma liczb w poziomie, pionie i ukosie jest taka sama. Sprawdźmy: pewnie powiecie, że ten drugi jest dwa razy większy, bo ma po dwa przyciski z każdej strony... Och, czy on naprawdę jest dwa razy większy? Policz, ile ma guzików Cztery! Zobaczmy, co stanie się dalej. Trzecia jest szeroka i wysoka na trzy pętle. Policz oczka. Ile tu tego jest? 25. Czwarta czwórka to długa i szeroka (lub wysoka) czwórka. Cztery razy cztery to szesnaście. Tak, ma szesnaście szwów. A piąty? Z każdej strony jest pięć oczek, więc ile ich jest w sumie? Brawo, 25. Mówimy, że ten kwadrat ma powierzchnię XNUMX. Ale pewnie o tym wiedziałeś. Tak jak pokazano w tabeli po prawej stronie.
4+9+2=3+5+7=8+1+6=4+3+8=9+5+1=2+7+6= 4+5+6=8+5+2=15.
Wikipedia słusznie pisze, że magiczne kwadraty są bezużyteczne w nauce. Są po prostu interesujące. Ale metody ich konstruowania są ciekawsze niż same kwadraty. To tak jak w turystyce: bardzo często cel jest drugorzędny, ważna jest droga do niego. Spójrzmy, jak zbudować kwadrat o powierzchni dwudziestu pięciu metrów kwadratowych. Stawiamy ten na środku i przypominamy sobie zapomnianą już „grę królewską”, czyli szachy. Przeskoczymy prosto do NNE (północno-północny wschód). Już „trójka” wypada poza kwadrat. Przenosimy go na swoje miejsce (ostatni w drugim rzędzie od dołu). Przypomina mi to muzyczną „redukcję do pierwszej oktawy”. Tę zasadę stosujemy konsekwentnie... tak długo, jak to możliwe. Utknął o szóstej. Nie ma to znaczenia, stawiamy szóstkę pod czerwoną piątką, która jest już w naszym kwadracie.
2. Dlaczego ten kwadrat jest „magiczny”?
Wróćmy do matematyki dla dzieci. Teraz spójrz na górę mojej układanki nr 2. Czy są tam jakieś kwadraty? NIE! Jak nazywają się te figury? Beata, jak się masz? Masz rację, prostokąty. Dlaczego tak się nazywają? Bo mają kąty proste? Porozmawiamy o tym nieco później, ale na razie pamiętajmy, czym jest kąt prosty. Bartek, jak byś to wyjaśnił komuś, kto nie wie? Może to taki płaski kąt. Cóż, niech tak będzie. Jeśli jedziemy samochodem i skręcamy pod kątem prostym, to ani za bardzo do przodu, ani za bardzo do tyłu, ale dokładnie dokładnie w bok. Selina, wstań i obróć się pod kątem prostym. Lewo czy prawo? Jakkolwiek chcesz.
Porozmawiajmy też o powyższych kształtach, czyli o prostokątach. Który z nich jest gruby, chudy, smukły, wysoki, niski, mniej podłużny, bardziej podłużny? Z pewnością zgodzisz się, że żółty po prawej jest długi, chudy i wysoki. Ale bądź ostrożny. Jeśli leży na boku, również będzie długi, ale krótki. Nazwałbyś go „grubym”?
3. Rozpoczęcie budowania magicznego kwadratu o wymiarach 5 na 5.
4. Jak zbudować magiczny kwadrat 5 na 5?
Teraz znowu dwie wkładki dla starszych czytelników. Pierwszy to 100. Myślę, że 100 to sto w każdym języku słowiańskim. To ważne dla językoznawców. Nazwa tej liczby wyróżnia dwie grupy języków indoeuropejskich, do których należą wszystkie języki na naszym kontynencie, z wyjątkiem fińskiego, węgierskiego, estońskiego baskijskiego i mało znanego bretońskiego.
W językach, które rozwinęły się podczas pierwszej fali migracji, słowo 100 rozwinęło się w (grecki) i (łaciński), z których wywodzi się zarówno francuski, jak i niemiecki (i oczywiście angielski). Dlatego nazywamy te języki centami.
Nasz język należy do grupy języków centralnych, czyli satemicznych, gdyż po palatalizacji (zmiękczeniu) prajęzyk przyjął tę piękną i krótką formę setek. Sto lat, sto lat, niech żyje...
5. Dla koneserów. Magiczny kwadrat złożony z liczb pierwszych.
Druga wkładka jest dłuższa, ale całkowicie trafna.
Matematyk i
Wskaźnik BMI Zainteresowałem się tym z konieczności. Przypominam, że jest to wskaźnik porównujący i oceniający zgodność masy ciała dorosłego pacjenta z teoretycznie ustaloną normą. Wzór matematyczny jest prosty: podziel swoją wagę (w kilogramach) przez kwadrat swojego wzrostu (w metrach). Przyjmuje się, że granicą nadwagi jest iloraz 25. W tej skali słynny hiszpański tenisista Rafael Nadal ma prawie nadwagę (185 cm, 85 kg), co daje BMI na poziomie 24,85. Chudy jak plaster jego serbski przeciwnik Novak Djokovic ma 21,79 i z łatwością mieści się w normalnym przedziale wagowym. Autor tych słów... Nie powiem, jak wysoka jest to liczba. Jednak dolna granica prawidłowej wagi dla mnie (180 cm) to... 61 kg. 180-kilogramowy facet ważący 61 kg prawdopodobnie upadłby przy każdym podmuchu wiatru. Uważam, że choć sama zasada działania wskaźnika jest słuszna, to ustawienie tego parametru prawdopodobnie zostało narzucone przez firmy farmaceutyczne (tabletki odchudzające).
Sami lekarze mają świadomość, że wskaźnik ten nie uwzględnia cech osobowych pacjenta. Dodam też fakt matematyczny. Starsi ludzie tracą na wadze. Ich kręgosłup jest zniszczony. W młodości miałem 184 cm wzrostu, teraz mam 180 cm, gdybym ważył 100 kg, to „wtedy”, czyli przy wzroście 184 cm, dałoby to wskaźnik 29,5 (stopień I nadwagi), ale teraz przy wzroście 180 cm będzie to 30,9 (nadwaga drugiego stopnia). A jednak „ja” nie skurczyło się, tylko kręgosłup się wykrzywił.
Sprawdźmy wskaźnik BMI pod kątem „stałości wskaźników”. Chodzi o to, że nie powinno mieć znaczenia, czy dane podawane są w systemie metrycznym (kilogramy i metry), czy np. w angielskich funtach i stopach. Oczywiście liczby będą inne, podobnie jak liczby wyrażające prędkość podróży w milach i kilometrach. Ale można łatwo przekształcić jedno w drugie bez sprzeczności. Oto dygresja. Mile można łatwo przeliczyć na kilometry. Ale na pytanie, jak duża jest lodówka, mój kanadyjski przyjaciel odpowiedział: „27 stóp sześciennych”. I bądź tu mądry. Jeszcze gorsza sytuacja jest przy ustalaniu zużycia paliwa przez samochód. W USA i Kanadzie ocenia się to następująco: „Ile mil otrzymam na galonie?” Czytelniku, może potrafisz ocenić (obliczyć) czy 60 mpg to dużo czy mało? Kolejny galon amerykański różni się od galonu kanadyjskiego (zwanego także imperialnym). To prawda, że Kanada ma miary metryczne od wielu lat, ale zmiana nawyków nie jest taka łatwa.
Ale z BMI wszystko jest w porządku. Ponieważ stopa angielska wynosi 30,48 cm, a funt 0,454 kg, angielski wynik BMI (wyrażony w funtach masy ciała na metr kwadratowy wzrostu) należy pomnożyć przez 0,454 i 0,30482, co równa się 4,88. Osoba o wzroście 180 cm waży 220,26 funta i ma 5,9 stopy wzrostu. Obie metody obliczania BMI są takie same i wynoszą 30,9.
Teraz najciekawsze (z punktu widzenia matematyki). W jednej ze swoich książek opisałem „wskaźnik okrągłości” – jak bardzo zaokrąglone kształty wyglądają jak koło. Ile - czyli matematycznie „ile procent”. Koło jest oczywiście w 100 procentach okrągłe. A inne numery? Jak to zmierzyć?
Zastosujmy ten pomysł do pomiaru, jak „podobny” jest prostokąt do kwadratu. Nazwijmy to „miarą zniszczenia”. Kwadrat powinien być w 100% pęknięty, prawda? Matematyk woli mówić, że pęknięcie kwadratu jest równe 1, a pęknięcie wąskich prostokątów jest odpowiednio mniejsze.
Zastosujmy do prostokątów coś w rodzaju wskaźnika masy ciała. Podziel pole przez kwadrat obwodu. Ile kosztuje kwadrat z bokiem? To tylko 1/16 kont. Aby uzyskać wskaźnik 1, pomnóżmy przez 16. Zatem wskaźnik masy ciała dla prostokątów wynosi
Teraz wyobraź sobie prostokąty jadące do lekarza. „Zamierzam obliczyć twoje BMI” – mówi lekarz. Pojedynczo proszę. Oto Twoje wyniki. Z którego schudniesz?
6. Który prostokąt służy do odchudzania, a który do anoreksji? Oblicz je
Oświadczenie. BMI traktuje ludzi jak płaskie stworzenia! Wskaźnik ten działa dobrze (bez uwzględnienia ustawień poziomu limitu). Matematycy są jednak sceptyczni. To zbyt proste, żeby było uniwersalne. Zbyt proste wzory matematyczne służące do opisu zjawisk biologicznych i społecznych należy traktować z dużą ostrożnością.
Wracamy do rozmów dla młodszych dzieci. Spójrzmy jeszcze raz na zagadkę nr 2. Zgodziliśmy się, drogie dzieci, że prawdą jest, że prostokąt ma tylko kąty proste. Byłoby dziwne, gdyby było inaczej. Ale poniższe figury (niebieska piramida), fioletowa „wirówka” i niebieski wiatraczek również mają tylko kąty proste. Może są prostokątne? Nie, ludzie zgodzili się, że prostokąty to tylko te, które mają cztery kąty proste, nic więcej.
Naucz się myśleć poprawnie. Patrzeć:
Jeśli coś jest prostokątem, to ma tylko kąty proste. To nie to samo, co:
Jeśli coś ma tylko kąty proste, jest to prostokąt.
Dlaczego? Zamiast prostokąta weź kota i psa, zamiast kątów prostych weź łapy. Czy teraz rozumiesz? Zdecydowanie!
Komentarz dla dorosłych (i nie tylko). Za mojej młodości obowiązywał slogan: Myślenie ma kolosalną przyszłość! Chciałbym, żeby to było tak dawno temu.
Zrozumieć. Ważne pytanie. Czy kwadrat jest prostokątem? Jeść! Ma cztery kąty proste! Można powiedzieć, że kwadrat jest najgładszym prostokątem. Każdy bok ma tę samą długość.
Będziemy nadal tworzyć piękne puzzle. Wiesz dokładnie, co to jest liczba parzysta. Jeśli zajęcia będą ustawione w parach, to albo ktoś zostanie bez pary, albo… nie zostanie. Czy 12 to liczba parzysta? Tak. Kiedy dwanaście osób chce grać w siatkówkę, łatwo jest im stworzyć dwie drużyny. Dwa razy sześć równa się dwanaście. A jeśli te same osoby chcą grać w ping-ponga, mogą utworzyć sześć par. Sześć razy dwa to także dwanaście.
Co ich łączy: mecz, ślub, pojedynek, lustro i moneta? Numer dwa. W meczu dwie drużyny, mężczyzna i kobieta, biorą ślub (tak, mężczyzna i kobieta - on się żeni, ona wychodzi za mąż). Dwóch przeciwników walczy w pojedynku, w lustrze widzimy nieco inną „”ja”. Medal ma dwie strony. Jak się nazywają? Orzeł czy reszka. Mamy orła na polskich monetach. Czy znasz kogoś, kto ma brata bliźniaka lub siostrę bliźniaka? Dawno temu na wsiach używano „bliźniaków” – dwóch połączonych ze sobą naczyń, jednego na zupę, drugiego na… drugie danie.
A może rozumiesz słowa: dublet, symetria, inwersja, dwoistość, przeciwieństwo, deble, duet, tandem, alternatywa, negatyw, zaprzeczenie?
Jeśli pokój ma dwa wyjścia (lub wejście i wyjście, jak wolisz), czy powiedzielibyśmy, że ma „dwoje drzwi”? Nie, coś jest nie tak. Jak to jest prawidłowe? Dlaczego to mówimy? A jeśli dodamy kolejne wejście do pokoju dwudrzwiowego i umieścimy tam drzwi, ile będzie drzwi? Trzy? O nie….
„Przód” idzie w parze z „tyłem”. Tam, gdzie jest „lewo”, jest też „prawo”, jeśli coś nie jest „powyżej”, to może być „poniżej”. Gdyby nie było plusa, minus nie byłby potrzebny. Numer dwa jest świetny.
Śpiewają: „Dwa psy…” Znasz melodię? Jeśli nie, ucz się.
Ile bloków znajduje się w następnej układance? Nie wiem, nawet nie będziemy liczyć. To znaczy, nie licząc, wiem, że jest liczba parzysta. Dlaczego? Kacper, skąd ja to wiem? Och, już wiesz? Tak jak mówisz? Że wszyscy są równi? Z tego samego powodu!
Płynnie. Do pary. Czy przeszkadza Ci to, że róż po lewej stronie jest ciemniejszy niż róż po prawej?
Którego nawet tam nie ma. Pamiętam, że jako dziecko grałem w piłkę nożną, zawsze był problem, gdy było nas siedmiu, dziewięciu, jedenastu, trzynastu... Nie dało się podzielić na dwie równe drużyny. Rozwiązaniem było to, że graliśmy na jedną bramkę. Bramkarz nie należał do żadnego zespołu. Musiał się bronić przed każdym ciosem.
Wyzwanie… nie tylko dla dorosłych. Podaj przykłady pojazdów, które mają nieparzystą liczbę kół (nie liczymy koła zapasowego w samochodzie). Pewnego dnia zauważyłem, że może to być... kolejka linowa na Kasprowy Wierch - wagon toczący się po linie na siedmiu kołach. Ale teraz nie wiem jak to jest.
Ile bloków znajduje się w czwartej układance? Czy istnieje liczba parzysta czy nieparzysta? Petrek, to dla Ciebie! Jak to rozwiążesz? Chcesz policzyć i wtedy będziesz wiedzieć? Czy nie pomylisz się w tych obliczeniach? Zobacz, czy wszystko jest takie samo.
W starożytności za najlepsze uważano liczby nieparzyste. Dziś wolimy parytet. Czy wiecie, że jeśli obdarowujemy kogoś kwiatami, to powinna być ich nieparzysta liczba? Nie dotyczy to oczywiście gigantycznych bukietów.
Możliwe wyzwanie... może nie tylko dla dorosłych. Kto jest godzien słów wdzięczności, kwiatów i szacunku od nas wszystkich (i nie bójmy się tego - solidna nagroda!) Za bezinteresowną, wyczerpującą, długą, ciężką i ryzykowną pracę, abyśmy nie chorowali, a jeśli zachorujemy, jak najszybciej wyzdrowiejemy?
