Odwrócony urok
Wiele mówi się o „pięknie przeciwieństw” i to nie tylko w matematyce. Pamiętaj, że liczby przeciwne to takie, które różnią się tylko znakiem: plus 7 i minus 7. Suma liczb przeciwnych wynosi zero. Ale dla nas (tj. matematyków) liczby odwrotne są bardziej interesujące. Jeżeli iloczyn liczb jest równy 1, wówczas liczby te są względem siebie odwrotne. Każda liczba ma swoje przeciwieństwo, każda liczba różna od zera ma swoją odwrotność. Odwrotnością odwrotności jest ziarno.
Inwersja ma miejsce wtedy, gdy dwie wielkości są ze sobą powiązane w taki sposób, że jeśli jedna rośnie, druga maleje w odpowiednim tempie. „Odpowiadający” oznacza, że iloczyn tych wielkości się nie zmienia. Pamiętamy ze szkoły: to jest odwrotna proporcjonalność. Jeśli chcę dotrzeć do celu w czasie o połowę krótszym (czyli skrócić czas o połowę), muszę podwoić prędkość. Jeśli zmniejszymy objętość zamkniętego naczynia z gazem n razy, wówczas jego ciśnienie wzrośnie n razy.
W szkolnictwie podstawowym starannie rozróżniamy porównania różnicowe i względne. "O ile więcej"? – „Ile razy więcej?”
Oto niektóre wydarzenia szkolne:
Zadanie 1. Z dwóch wielkości dodatnich pierwsza jest 5 razy większa od drugiej i jednocześnie 5 razy większa od pierwszej. jakie są wymiary?
Zadanie 2. Jeśli jedna liczba jest większa od drugiej o 3, a druga jest większa od trzeciej o 2, to o ile większa jest pierwsza liczba od trzeciej? Jeśli pierwsza liczba dodatnia jest dwa razy większa od drugiej, a pierwsza liczba jest trzy razy większa od trzeciej, to ile razy pierwsza liczba jest większa od trzeciej?
Zadanie 3. W zadaniu 2 dozwolone są tylko liczby naturalne. Czy możliwy jest układ opisany tam?
Zadanie 4. Z dwóch wielkości dodatnich pierwsza jest 5 razy większa od drugiej, a druga 5 razy większa od pierwszej. Czy to możliwe?
Pojęcie „średniego” lub „średniego” wydaje się bardzo proste. Jeśli przejechałem na rowerze 55 km w poniedziałek, 45 km we wtorek i 80 km w środę, średnio pokonywałem na rowerze 60 km dziennie. W pełni zgadzamy się z tymi wyliczeniami, choć są one trochę dziwne, bo nigdy nie przejechałem 60 km w ciągu jednego dnia. Z łatwością akceptujemy także udziały jednej osoby: jeśli w ciągu sześciu dni restaurację odwiedzi dwieście osób, wówczas średnia stawka dzienna wynosi 33 i jedna trzecia osób. Hm!
Problemy pojawiają się tylko przy średniej wielkości. Lubię jeździć na rowerze. Skorzystałem więc z oferty biura podróży „Chodźmy z nami” – dostarczają bagaże do hotelu, gdzie klient jeździ rowerem w celach rekreacyjnych. W piątek jechałem cztery godziny: pierwsze dwie z prędkością 24 km na godzinę. Potem tak się zmęczyłem, że przez kolejne dwie w tempie zaledwie 16 na godzinę. Jaka była moja średnia prędkość? Oczywiście (24+16)/2=20km=20km/h.
W sobotę jednak zostawiono bagaż w hotelu, a ja pojechałem obejrzeć ruiny zamku oddalonego o 24 km i po ich obejrzeniu wróciłem. Jechałem godzinę w jedną stronę i wracałem wolniej, z prędkością 16 km na godzinę. Jaka była moja średnia prędkość na trasie hotel-zamek-hotel? 20 km na godzinę? Oczywiście nie. Przecież przejechałem w sumie 48 km i zajęło mi to godzinę („tam”) i półtorej godziny z powrotem. 48 km w dwie i pół godziny, tj. godzina 48/2,5=192/10=19,2 km! W tej sytuacji prędkość średnia nie jest średnią arytmetyczną, ale harmoniczną danych wartości:
i tę dwupiętrową formułę można odczytać w następujący sposób: średnia harmoniczna liczb dodatnich jest odwrotnością średniej arytmetycznej ich odwrotności. Odwrotność sumy odwrotności pojawia się w wielu chórach zadań szkolnych: jeśli jeden pracownik kopie godzinami, drugi b godzinami, to pracując razem, kopią na czas. basen z wodą (jeden o godzinie, drugi o sześciu godzinach). Jeśli jeden rezystor ma R1, a drugi R2, to mają one rezystancję równoległą.
Jeśli jeden komputer może rozwiązać problem w ciągu kilku sekund, inny w b sekund, to kiedy będą współpracować...
Zatrzymywać się! Na tym analogia się kończy, bo wszystko zależy od szybkości sieci: wydajności połączeń. Pracownicy mogą również utrudniać sobie nawzajem lub pomagać sobie nawzajem. Jeśli jedna osoba może wykopać studnię w osiem godzin, czy osiemdziesięciu pracowników może to zrobić w 1/10 godziny (lub 6 minut)? Jeśli sześciu tragarzy dostarczy fortepian na pierwsze piętro w 6 minut, ile czasu zajmie jednemu z nich dostarczenie fortepianu na sześćdziesiąte piętro? Absurdalność takich problemów przypomina nam o ograniczonym zastosowaniu całej matematyki do problemów „prawdziwego życia”.
Drogi sprzedawco
Wagi nie są już używane. Przypomnijmy, że na jednej szalce takiej wagi umieszczono odważnik, a na drugiej ważony towar, a gdy ciężar był w równowadze, wówczas towar ważył tyle, ile waży. Oczywiście oba ramiona ciężarka muszą być tej samej długości, inaczej ważenie będzie nieprawidłowe.
Och, prawda. Wyobraź sobie sprzedawcę, który ma wagę i nierówne ramiona. Chce jednak być uczciwy wobec klientów i waży towar w dwóch partiach. Najpierw kładzie odważnik na jednej szalce, a odpowiednią ilość towaru na drugiej, tak aby waga była w równowadze. Następnie waży drugą „połówkę” towaru w odwrotnej kolejności, czyli kładzie masę na drugą szalkę, a towar na pierwszą. Ponieważ ręce są nierówne, połówki nigdy nie są równe. A sprzedawca ma czyste sumienie, a kupujący chwalą jego uczciwość: „to, co tutaj usunął, dodał później”.
Przyjrzyjmy się jednak bliżej zachowaniu sprzedawcy, który mimo niepewnej wagi chce być uczciwy. Niech ramiona wagi mają długości a i b. Jeśli jedna z mis jest załadowana kilogramem, a druga x towarami, to wagi są w równowadze, jeśli ax = b za pierwszym razem i bx = a za drugim razem. Tak więc pierwsza część towaru jest równa b / kilogram, druga część to a / b. Dobra waga ma a = b, więc kupujący otrzyma 2 kg towaru. Zobaczmy, co się stanie, gdy a ≠ b. Wtedy a – b ≠ 0 i ze wzoru na mnożenie zredukowane mamy
Doszliśmy do nieoczekiwanego rezultatu: pozornie uczciwa metoda „uśredniania” pomiaru w tym przypadku działa na korzyść kupującego, który otrzymuje więcej towaru.
Zadanie 5. (Ważne, wcale nie w matematyce!). Komar waży 2,5 miligrama, a słoń pięć ton (to całkiem poprawne dane). Oblicz średnią arytmetyczną, geometryczną i harmoniczną mas (ciężarów) komara i słonia. Sprawdź obliczenia i zobacz, czy mają one jakikolwiek sens poza ćwiczeniami arytmetycznymi. Przyjrzyjmy się innym przykładom obliczeń matematycznych, które nie mają sensu w „prawdziwym życiu”. Wskazówka: omówiliśmy już jeden przykład w tym artykule. Czy to oznacza, że anonimowy student, którego opinię znalazłem w Internecie, miał rację: „Matematyka zwodzi liczbami”?
Tak, zgadzam się, że w wielkości matematyki można „oszukać” ludzi – co druga reklama szamponu mówi, że zwiększa on puszystość o jakiś procent. Czy szukać innych przykładów przydatnych narzędzi codziennego użytku, które można wykorzystać do działalności przestępczej?
Gramy!
Tytuł tego fragmentu jest czasownikiem (pierwsza osoba liczby mnogiej), a nie rzeczownikiem (mianownik liczby mnogiej oznaczający jedną tysięczną kilograma). Harmonia zakłada porządek i muzykę. Dla starożytnych Greków muzyka była dziedziną nauki – co prawda, jeśli tak powiemy, przenosimy obecne znaczenie słowa „nauka” do czasów poprzedzających naszą erę. Pitagoras żył w XIX w. p.n.e. Nie tylko nie znał komputera, telefonu komórkowego i poczty elektronicznej, ale nie wiedział też, kim byli Robert Lewandowski, Mieszko I, Karol Wielki i Cyceron. Nie znał cyfr arabskich, ani nawet rzymskich (weszły w życie około V wieku p.n.e.), nie wiedział, czym były wojny punickie… Ale znał muzykę…
Wiedział, że w instrumentach strunowych współczynniki drgań są odwrotnie proporcjonalne do długości drgających części strun. Wiedział, wiedział, po prostu nie potrafił tego wyrazić w sposób, w jaki robimy to dzisiaj.
Częstotliwości drgań dwóch strun tworzących oktawę są w stosunku 1:2, to znaczy częstotliwość wyższej nuty jest dwukrotnie większa od częstotliwości niższej. Prawidłowy współczynnik drgań kwinty to 2:3, kwarty 3:4, czystej tercji wielkiej 4:5, tercji małej 5:6. To przyjemne interwały spółgłoskowe. Potem są dwa neutralne, o współczynnikach drgań 6:7 i 7:8, potem dysonansowe – ton duży (8:9), ton mały (9:10). Te ułamki (stosunki) są jak stosunki kolejnych elementów ciągu, który matematycy (z tego właśnie powodu) nazywają szeregiem harmonicznym:
jest sumą teoretycznie nieskończoną. Stosunek oscylacji oktawy można zapisać jako 2:4 i umieścić między nimi kwintę: 2:3:4, czyli oktawę podzielimy na kwintę i kwintę. Nazywa się to dzieleniem segmentów harmonicznych w matematyce:
Ryż. 1. Dla muzyka: podzielenie oktawy AB przez piątą AC.Dla matematyka: segmentacja harmoniczna
Co mam na myśli, mówiąc (powyżej) o teoretycznie nieskończonej sumie, takiej jak szereg harmoniczny? Okazuje się, że taka suma może być dowolną dużą liczbą, najważniejsze jest to, że dodajemy wystarczająco długo. Składników jest coraz mniej, ale jest ich coraz więcej. Co przeważa? Tutaj wkraczamy w dziedzinę analizy matematycznej. Okazuje się, że składniki się wyczerpują, ale niezbyt szybko. Pokażę, że mając wystarczającą ilość składników, mogę zrobić sumę:
dowolnie duży. Weźmy jako przykład n = 1024. Pogrupujmy słowa jak pokazano na rysunku:
W każdym nawiasie każde słowo jest większe od poprzedniego, z wyjątkiem oczywiście ostatniego, które jest sobie równe. W poniższych nawiasach mamy 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128 i 512 komponentów; wartość sumy w każdym nawiasie jest większa niż ½. Wszystko to jest więcej niż 5½. Dokładniejsze obliczenia wykazałyby, że kwota ta wynosi około 7,50918. Niewiele, ale zawsze. Jak widać, biorąc duże n, mogę pokonać dowolną liczbę. Ten niewiarygodnie powolny (na przykład przekraczamy dziesięć przy samych składnikach), ale nieskończony wzrost zawsze fascynował matematyków.
Podróż do nieskończoności z serią harmoniczną
Oto zagadka na całkiem poważną matematykę. Mamy nieograniczoną ilość prostokątnych bloków (co ja mówię, prostokątnych!) o wymiarach, powiedzmy, 4 × 2 × 1. Rozważmy system składający się z kilku (na Figa. 2 - cztery) klocki ułożone tak, że pierwszy jest nachylony o ½ swojej długości, drugi od góry o ¼ i tak dalej, trzeci o jedną szóstą. No to może żeby było naprawdę stabilnie przechylmy pierwszą cegłę trochę mniej. Nie ma to znaczenia dla obliczeń.
Ryż. 2. Wyznaczanie środka ciężkości
Łatwo też zrozumieć, że skoro figura złożona z dwóch pierwszych bloków (licząc od góry) ma środek symetrii w punkcie B, to B jest środkiem ciężkości. Wyznaczmy geometrycznie środek ciężkości układu złożonego z trzech górnych bloków. Tutaj wystarczy bardzo prosty argument. Podzielmy w myślach trzyblokową kompozycję na dwie górne i trzecią dolną. Środek ten musi leżeć na odcinku łączącym środki ciężkości obu części. W którym momencie tego odcinka?
Istnieją dwa sposoby wyznaczania. W pierwszym skorzystamy z obserwacji, że środek ten powinien leżeć w środku piramidy trójblokowej, czyli na prostej przecinającej drugi, środkowy blok. W drugiej metodzie zdajemy sobie sprawę, że ponieważ dwa górne bloki mają całkowitą masę dwukrotnie większą od pojedynczego bloku nr 3 (powyżej), środek ciężkości w tej sekcji musi znajdować się dwa razy bliżej B niż środka S trzeciego blok. Podobnie znajdujemy następny punkt: łączymy znaleziony środek trzech bloków ze środkiem S czwartego bloku. Środek całego układu znajduje się na wysokości 2 i w punkcie dzielącym odcinek od 1 do 3 (tj. przez ¾ jego długości).
Obliczenia, które przeprowadzimy nieco dalej, prowadzą do wyniku pokazanego na ryc. rys. 3. Kolejne środki ciężkości usuwane są z prawej krawędzi dolnego bloku poprzez:
Zatem rzut środka ciężkości piramidy zawsze znajduje się w podstawie. Wieża się nie przewróci. Teraz spójrzmy Figa. 3 i na chwilę wykorzystajmy jako bazę piąty klocek od góry (ten zaznaczony jaśniejszym kolorem). Pochylenie od góry:
zatem jego lewa krawędź jest o 1 dalej niż prawa krawędź podstawy. Oto następny zamach:
Jaka jest największa huśtawka? Już wiemy! Nie ma największego! Biorąc nawet najmniejsze klocki, można uzyskać zwis rzędu jednego kilometra – niestety tylko matematycznie: całej Ziemi nie wystarczyłoby na zbudowanie tylu klocków!
Ryż. 3. Dodaj więcej bloków
Teraz obliczenia, które zostawiliśmy powyżej. Wszystkie odległości obliczymy „poziomo” na osi x, bo o to właśnie chodzi. Punkt A (środek ciężkości pierwszego bloku) znajduje się 1/2 od prawej krawędzi. Punkt B (środek układu dwóch bloków) znajduje się 1/4 od prawej krawędzi drugiego bloku. Niech koniec drugiego bloku będzie punktem wyjścia (teraz przejdziemy do trzeciego). Na przykład, gdzie znajduje się środek ciężkości pojedynczego bloku nr 3? Połowa długości tego bloku, zatem jest on oddalony od naszego punktu odniesienia o 1/2 + 1/4 = 3/4. Gdzie jest punkt C? W dwóch trzecich odcinka pomiędzy 3/4 a 1/4, czyli w punkcie do, zmieniamy punkt początkowy na prawą krawędź trzeciego bloku. Środek ciężkości układu trzech bloków został teraz usunięty z nowego punktu odniesienia i tak dalej. Środek ciężkości Cn wieży zbudowanej z n bloków znajduje się w odległości 1/2n od chwilowego punktu odniesienia, czyli prawej krawędzi bloku bazowego, czyli n-tego bloku od góry.
Ponieważ szereg odwrotności jest rozbieżny, możemy otrzymać dowolną dużą zmianę. Czy rzeczywiście dałoby się to zrealizować? To jak niekończąca się ceglana wieża – prędzej czy później zawali się pod własnym ciężarem. W naszym schemacie minimalne niedokładności w rozmieszczeniu bloków (i powolny wzrost sum częściowych wierszy) oznaczają, że nie zajdziemy zbyt daleko.
