Równania, kody, szyfry, matematyka i poezja

Michał Shurek mówi o sobie: „Urodziłem się w 1946 roku. Ukończyłem Uniwersytet Warszawski w 1968 roku i od tego czasu pracuję na Wydziale Matematyki, Informatyki i Mechaniki. Specjalizacja naukowa: geometria algebraiczna. Ostatnio zajmowałem się wiązkami wektorowymi. Co to jest wiązka wektorowa? Tak więc wektory muszą być ciasno związane nitką, a my już mamy kilka. Mój przyjaciel fizyk, Anthony Sim, namówił mnie, żebym dołączył do Młodego Technika (przyznaje, że powinien dostawać tantiemy z moich honorariów). Napisałem kilka artykułów, potem zostałem i od 1978 roku co miesiąc można przeczytać, co myślę o matematyce. Kocham góry i mimo nadwagi staram się chodzić. Myślę, że najważniejsi są nauczyciele. Trzymałbym polityków, niezależnie od ich opcji, w silnie strzeżonym obszarze, aby nie mogli uciec. Karmić raz dziennie. Lubi mnie beagle z Tulka.

Równanie jest jak szyfr dla matematyka. Rozwiązywanie równań, kwintesencja matematyki, polega na odczytywaniu zaszyfrowanego tekstu. Zostało to zauważone przez teologów od XV wieku. Jan Paweł II, który znał się na matematyce, pisał i wspominał o tym kilka razy w swoich kazaniach – niestety fakty zostały wymazane z mojej pamięci.

W nauce szkolnej jest reprezentowana Pitagoras jako autor twierdzenia o pewnej zależności w trójkącie prostokątnym. Tak więc stało się to częścią naszej eurocentrycznej filozofii. A jednak Pitagoras ma znacznie więcej zalet. To on nałożył na swoich uczniów obowiązek „poznania świata”, od „co jest za tym wzgórzem?” przed studiowaniem gwiazd. Dlatego Europejczycy „odkryli” starożytne cywilizacje, a nie odwrotnie.

Niektórzy czytelnicy pamiętająWzory VièteI"; wielu starszych czytelników pamięta sam termin ze szkoły iw przybliżeniu fakt, że pytanie pojawiło się w równaniach kwadratowych. Te prawidłowości są „ideologicznie” szyfrowanie Informacja.

Nic dziwnego Francois Viette (1540-1603) zajmował się kryptografią na dworze Henryka IV (pierwszego francuskiego króla z dynastii Burbonów, 1553-1610) i zdołał złamać szyfr używany przez Brytyjczyków w wojnie z Francją. Pełnił więc tę samą rolę, co polscy matematycy (na czele z Marianem Rejewskim), którzy przed II wojną światową odkryli tajemnice niemieckiej maszyny szyfrującej Enigma.

motyw mody

Dokładnie. Temat „kody i szyfry” od dawna jest modny w nauczaniu. Pisałam już o tym kilka razy, a za dwa miesiące będzie kolejna seria. Tym razem piszę pod wrażeniem filmu o wojnie 1920 roku, w której zwycięstwo było w dużej mierze zasługą złamania szyfru wojsk bolszewickich przez zespół kierowany przez ówczesnego młodego Wacław Sierpiński (1882-1969). Nie, to jeszcze nie jest Enigma, to tylko wprowadzenie. Pamiętam scenę z filmu, w której Józef Piłsudski (w tej roli Daniil Olbrychski) mówi do szefa wydziału szyfrów:

Odszyfrowane wiadomości zawierały ważną wiadomość: wojska Tuchaczewskiego nie otrzymają wsparcia. Możesz atakować!

Znałem Wacława Sierpińskiego (że tak powiem: byłem młodym studentem, on był znanym profesorem), uczęszczałem na jego wykłady i seminaria. Sprawiał wrażenie zwiędłego uczonego, roztargnionego, zajętego dyscypliną i nie widzącego innego świata. Wykładał konkretnie, twarzą do tablicy, nie patrząc na słuchaczy… ale czuł się jak wybitny specjalista. W ten czy inny sposób miał pewne zdolności matematyczne - na przykład do rozwiązywania problemów. Są inni, naukowcy, którzy stosunkowo słabo radzą sobie z rozwiązywaniem zagadek, ale mają głębokie zrozumienie całej teorii i są w stanie zainicjować całe obszary kreatywności. Potrzebujemy obu - chociaż pierwszy będzie poruszał się szybciej.

Wacław Sierpiński nigdy nie mówił o swoich dokonaniach w 1920 roku. Do 1939 roku to zdecydowanie musiało być utrzymywane w tajemnicy, a po 1945 roku ci, którzy walczyli z Rosją Sowiecką, nie cieszyli się sympatią ówczesnych władz. Moje przekonanie, że naukowcy są potrzebni, jak armia, potwierdza się: „na wszelki wypadek”. Oto Prezydent Roosevelt woła Einsteina:

Wybitny rosyjski matematyk Igor Arnold otwarcie i ze smutkiem powiedział, że wojna miała ogromny wpływ na rozwój matematyki i fizyki (radar i GPS też miały militarne korzenie). Nie wnikam w moralny aspekt użycia bomby atomowej: tu jest przedłużenie wojny o rok i śmierć kilku milionów własnych żołnierzy - tam jest cierpienie niewinnych cywilów.

***

Uciekam w znajome tereny - k. Wielu z nas bawiło się kodami, może harcerstwem, może tak po prostu. Proste szyfry, oparte na zasadzie zastępowania liter innymi literami lub innymi cyframi, są rutynowo łamane, jeśli złapiemy tylko kilka wskazówek (na przykład odgadniemy imię króla). Analiza statystyczna pomaga również dzisiaj. Gorzej, gdy wszystko jest zmienne. Ale najgorsze jest to, że nie ma regularności. Rozważ kod opisany w Przygodach dobrego wojaka Szwejka. Weźmy na przykład książkę Powódź. Oto sugestie na pierwszej i drugiej stronie.

Chcemy zakodować słowo „CAT”. Otwieramy na stronie 1 i następnej sekundzie. Stwierdzamy, że na stronie 1 litera K pojawia się po raz pierwszy na 59. miejscu. Pięćdziesiąte dziewiąte słowo znajdujemy po przeciwnej stronie, po drugiej stronie. To słowo na "a". Teraz litera O. Po lewej jest szesnaste słowo, a szesnaste po prawej to „Mr.” Litera T jest na 16 miejscu, jeśli dobrze policzyłem, a dziewięćdziesiąte piąte słowo od prawej to „o”. Więc KOT = 95 PAN O.

„Niemożliwy do odgadnięcia” szyfr, choć boleśnie powolny zarówno do szyfrowania, jak i… do zgadywania. Załóżmy, że chcemy przekazać literę M. Możemy sprawdzić, czy zakodujemy ją ze słowem „Wołodyjowski”. A po nas już szykują celę więzienną. Możemy liczyć tylko na zastępstwo! Ponadto kontrwywiad odnotowuje doniesienia tajnych pracowników, że od pewnego czasu klienci chętnie kupują pierwszy tom Potopu.

Mój artykuł jest przyczynkiem do tej tezy: nawet najdziwniejsze pomysły matematyków mogą znaleźć zastosowanie w szeroko rozumianej praktyce. Na przykład, czy można sobie wyobrazić mniej przydatne odkrycie matematyczne niż test na podzielność przez… przez 47?

Kiedy jest nam to potrzebne w życiu? A jeśli tak, łatwiej będzie spróbować to rozdzielić. Jeśli dzieli, to jest dobrze, jeśli nie, to… po drugie, jest dobrze (wiemy, że nie dzieli).

Jak się dzielić i dlaczego

Po tym wstępie przejdźmy do: Czy czytelnicy znają jakieś oznaki podzielności? Zdecydowanie. Liczby parzyste kończą się na 2, 4, 6, 8 lub zero. Liczba jest podzielna przez trzy, jeśli suma jej cyfr jest podzielna przez trzy. Podobnie ze znakiem podzielności przez dziewięć – suma cyfr musi być podzielna przez dziewięć.

Kto tego potrzebuje? Skłamałbym, gdybym przekonał Czytelnika, że ​​nadaje się do czegokolwiek innego niż... zadania szkolne. No i jeszcze jedna cecha podzielności przez 4 (a co to jest, Czytelniku? Może skorzystasz, gdy będziesz chciał wiedzieć, w którym roku wypada najbliższa olimpiada…). Ale cecha podzielności przez 47? To już jest ból głowy. Czy kiedykolwiek dowiemy się, czy coś jest podzielne przez 47? Jeśli tak, to weź kalkulator i zobacz.

Ten. Masz rację Czytelniku. A jednak czytaj dalej. Proszę.

Dowód podzielności przez 47: Liczba 100+ jest podzielna przez 47 wtedy i tylko wtedy, gdy 47 jest podzielne przez +8.

Matematyk uśmiechnie się z satysfakcją: „O rany, ślicznie”. Ale matematyka to matematyka. Dowody mają znaczenie, a my zwracamy uwagę na ich piękno. Jak udowodnić naszą cechę? To jest bardzo proste. Odejmij od 100 + liczbę 94 - 47 = 47 (2 -). Otrzymujemy 100+-94+47=6+48=6(+8).

Odjęliśmy liczbę podzielną przez 47, więc jeśli 6 (+ 8) jest podzielne przez 47, to 100 + też. Ale liczba 6 jest względnie pierwsza z 47, co oznacza, że ​​6 (+ 8) jest podzielna przez 47 wtedy i tylko wtedy, gdy jest + 8. Koniec dowodu.

Zobaczmy Kilka przykładów.

8805685 jest podzielne przez 47? Jeśli naprawdę nas to interesuje, przekonamy się o tym wcześniej, dzieląc nas tak, jak uczono nas w szkole podstawowej. Tak czy inaczej, teraz w każdym telefonie komórkowym znajduje się kalkulator. Podzielony? Tak, prywatny 187355.

Cóż, zobaczmy, co mówi nam znak podzielności. Odłączamy dwie ostatnie cyfry, mnożymy je przez 8, dodajemy wynik do „obciętej liczby” i robimy to samo z liczbą wynikową.

8805685 → 88056 + 8 = 85 → 88736 + 887 = 8 → 36 + 1175 = 11 → 8 + 75 = 611.

Widzimy, że 94 jest podzielne przez 47 (iloraz wynosi 2), co oznacza, że ​​pierwotna liczba jest również podzielna. Świetnie. Ale co, jeśli nadal będziemy się dobrze bawić?

94 → 0 + 8 94 = 752 → 7 + 8 52 = 423 → 4 + 8 23 = 188 → 1 + 8 88 = 705 → 7 + 8 5 = 47.

Teraz musimy przestać. Czterdzieści siedem dzieli się przez 47, prawda?

Czy naprawdę musimy przestać? A co jeśli pójdziemy dalej? O mój Boże, wszystko może się zdarzyć… Pominę szczegóły. Może tylko początek:

47 → 0 + 8 * 47 = 376 → 3 + 8 * 76 = 611 → 6 + 8 * 11 = 94 → 0 + 8 * 94 = 752.

Ale niestety uzależnia tak samo jak żucie nasion...

752 → 7 + 8 * 52 = 423 → 4 + 8 * 23 = 188 → 1 + 8 * 88 = 705 → 7 + 8 * 5 = 47.

Ach, czterdzieści siedem. Stało się to wcześniej. Co dalej? . To samo. Liczby układają się w pętlę w następujący sposób:

To jest naprawdę interesujące. Tyle pętli.

Dwa następujące przykłady.

Chcemy wiedzieć, czy 10017627 jest podzielne przez 47. Po co nam ta wiedza? Pamiętamy zasadę: biada wiedzy, która nie pomaga znającemu. Wiedza jest zawsze po coś. To będzie po coś, ale teraz nie będę tłumaczyć. Jeszcze kilka kont:

10017627 → 100176 + 8 27 = 100392.

„Zmienił wuja z siekiery na kij”. Co z tego wszystkiego mamy?

Cóż, powtórzmy przebieg postępowania. Oznacza to, że nadal będziemy to robić (czyli słowo „iteracja”).

100392 → 1003 + 8 92 = 1739 → 17 + 8 39 = 329 → 3 + 8 29 = 235.

Zatrzymajmy grę, podzielmy jak w szkole (albo na kalkulatorze): 235 = 5 47. Bingo. Oryginalna liczba 10017627 jest podzielna przez 47.

Brawo dla nas!

A co jeśli pójdziemy dalej? Zaufaj mi, możesz to sprawdzić.

I jeszcze jeden ciekawy fakt. Chcemy sprawdzić, czy liczba 799 jest podzielna przez 47. Korzystamy z funkcji podzielności. Odłączamy dwie ostatnie cyfry, wynikową liczbę mnożymy przez 8 i dodajemy do tego, co zostało:

799 → 7 + 8 99 = 7 + 792 = 799.

Co mamy? Czy 799 jest podzielne przez 47 wtedy i tylko wtedy, gdy 799 jest podzielne przez 47? Tak, zgadza się, ale do tego nie jest potrzebna matematyka!!! Olej jest tłusty (przynajmniej ten olej jest tłusty).

O liściu, piratach i koniec żartów!

Jeszcze dwie historie. Gdzie najlepiej schować liść? Odpowiedź jest oczywista: w lesie! Ale jak go w takim razie znaleźć?

Drugi znamy z książek o piratach, które czytaliśmy dawno temu. Piraci sporządzili mapę miejsca, w którym zakopali skarb. Inni albo go ukradli, albo wygrali walkę. Ale mapa nie wskazywała, dla której wyspy była przeznaczona. I szukaj u siebie! Oczywiście piraci sobie z tym (torturami) poradzili - szyfry o których mówię też można wydobyć takimi metodami.

Koniec żartów. Czytelnik! Tworzymy szyfr. Jestem tajnym szpiegiem i używam „Młodszego technika” jako mojej skrzynki kontaktowej. Przekaż mi zaszyfrowane wiadomości w następujący sposób.

Najpierw przekonwertuj tekst na ciąg liczb, używając kodu: AB CDEFGH IJ KLMN OP RST UWX Y Z1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

Jak widać, nie używamy polskich znaków diakrytycznych (tj. bez ą, ę, ć, ń, ó, ś) i niepolskich q, v - ale niepolskie x jest na wszelki wypadek. Dodajmy kolejne 25 jako spację (odstęp między słowami). O, najważniejsze. Proszę zastosować kod nr 47.

Wiesz co to oznacza. Idziesz do znajomego matematyka.

Oczy przyjaciela rozszerzyły się ze zdziwienia.

Odpowiadasz z dumą:

Matematyk obdarza cię tą cechą... a ty już wiesz, że do szyfrowania służy niepozorna funkcja

ponieważ taki wzorzec jest akcją opisaną

100+→+8.

Więc jeśli chcesz wiedzieć, co oznacza liczba, na przykład 77777777 w zaszyfrowanej wiadomości, użyj funkcji

100+→+8

aż otrzymasz liczbę od 1 do 25. Teraz spójrz na jawny kod alfanumeryczny. Zobaczmy: 77777777 →… Zostawiam to tobie jako zadanie. Ale zobaczmy, co kryje litera 48? Przeczytajmy:

48 → 0 + 8 48 = 384.

Następnie otrzymujemy po kolei:

384 → 3 + 8 84 = 675 → 6 + 8 75 = 606 → 6 + 8 6 = 54 → 0 + 8 54 = 432…

Końca nie widać. Dopiero za sześćdziesiątym (!) razem pojawi się liczba mniejsza niż 25. To jest 3, co oznacza, że ​​48 to litera C.

I co nam daje ta wiadomość? (Chcę przypomnieć, że używamy kodu numer 47):

80 – 152 – 136 – 546 – ​​​​695719 – 100 – 224 – 555 – 412 – 111 – 640 – 102 – 152 – 12881 – 444 – 77777777 – 59 – 408 – 373 – 1234567 – 341.

Cóż, pomyśl o tym, co jest takie skomplikowane, niektóre konta. Rozpoczęliśmy. Wczesne lata 80. Znana zasada:

80 → 0 + 8 80 = 640 → 6 + 8 40 = 326.

Kontynuuje się tak:

326 → 211 → 90 → 720 → 167 → 537 → 301 → 11.

Jeść! Pierwsza litera wiadomości to K. Uff, spokojnie, ale ile to potrwa?

Zobaczmy też, ile kłopotów mamy z liczbą 1234567. Dopiero za szesnastym razem otrzymamy liczbę mniejszą od 25, czyli 12. Zatem 1234567 to L.

No dobrze, można by powiedzieć, ale ta operacja arytmetyczna jest tak prosta, że ​​zaprogramowanie jej na komputerze natychmiast złamie kod. Tak, to prawda. To są proste obliczenia komputerowe. pomysł z szyfr publiczny chodzi też o utrudnienie obliczeń komputerowi. Niech działa przez co najmniej sto lat. Czy odszyfruje wiadomość? Nieważne. To nie będzie miało znaczenia przez długi czas. Na tym (mniej więcej) polegają szyfry publiczne. Mogą zostać zerwane, jeśli pracujesz przez bardzo długi czas ... dopóki wiadomości nie będą już aktualne.

 zawsze rodziła „przeciwbroń”. Wszystko zaczęło się od miecza i tarczy. Tajne służby płacą ogromne sumy pieniędzy utalentowanym matematykom, aby wymyślili metody szyfrowania, których komputery (w tym stworzone przez nas) nie będą w stanie złamać w XV wieku.

dwudziesty drugi wiek? Nie jest trudno wiedzieć, że na świecie jest już wielu ludzi, którzy będą żyć w tym pięknym stuleciu!

Och co? Co jeśli poproszę (ja, Tajny Oficer, z którym skontaktował się „Młody Technik”) o zaszyfrowanie kodem numer 23? czy 17? Prosty:

Obyśmy nigdy nie musieli używać matematyki do takich celów.

***

Tytuł artykułu dotyczy poezji. Co ona ma z tym wspólnego?

Jak co? Poezja również szyfruje świat.

W jaki sposób?

Ich metodami - podobnymi do algebraicznych.