Artykuł o niczym

Jako dziecko fascynowała mnie, zapewne znana wielu czytelnikom, opowieść o „zupie na paznokieć”. Opowiedziała mi to moja babcia (XX w. ur.) w wersji „Przyszedł Kozak i poprosił o wodę, bo ma gwóźdź i na nim zupę ugotuje”. Ciekawska gospodyni podała mu garnek wody… i wiemy, co było dalej: „zupa ma być słona, daitye, babcia, sól”, potem umył mięso „dla poprawienia smaku” i tak dalej. W końcu wyrzucił „ugotowany” gwóźdź.

Więc ten artykuł miał być o pustce kosmosu – a tu chodzi o lądowanie europejskiego aparatu na komecie 67P/Czuriumow-Gierasimienko 12 listopada 2014. Ale pisząc, uległem wieloletniemu nawykowi, Nadal jestem matematykiem. Jak to jest z Tak jakс Zero matematyka?

Jak nic nie istnieje?

Nie można powiedzieć, że Nic nie istnieje. Istnieje przynajmniej jako koncepcja filozoficzna, matematyczna, religijna i całkowicie potoczna. Zero to zwykła liczba, zero stopni na termometrze to też temperatura, a zerowe saldo w banku to nieprzyjemne, ale powszechne zjawisko. Zauważmy, że w chronologii nie ma roku zerowego, a to dlatego, że zero zostało wprowadzone do matematyki dopiero w późnym średniowieczu, później niż chronologia zaproponowana przez mnicha Dionizego (XX w.).

Co dziwne, naprawdę moglibyśmy obejść się bez tego zera, a zatem bez liczb ujemnych. W jednym z podręczników do logiki znalazłem ćwiczenie: narysuj lub powiedz, jak wyobrażasz sobie brak ryb. Niesamowite, prawda? Każdy może narysować rybę, ale nie jedną?

Teraz krótko podstawowy kurs matematyki. Nadanie przywileju istnienia pustemu zbiorowi oznaczonemu przekreślonym kółkiem ∅ jest konieczną procedurą analogiczną do dodania zera do zbioru liczb. Zbiór pusty jest jedynym zbiorem, który nie zawiera żadnych elementów. Takie kolekcje:

Ale nie ma dwóch różnych pustych zbiorów. Pusty zestaw jest zawarty w każdym innym zestawie:

Rzeczywiście, reguły logiki matematycznej mówią, że zbiór A jest zawarty w zbiorze B wtedy i tylko wtedy, gdy zdanie:

to powoduje

W przypadku zbioru pustego ∅ zdanie jest zawsze fałszywe, a więc zgodnie z prawami logiki implikacja jest generalnie prawdziwa. Wszystko bierze się z kłamstwa („tu wyhoduję kaktusa, jeśli przejdziesz do następnej klasy…”). Skoro więc zbiór pusty zawiera się w każdym z pozostałych, to gdyby były to dwa różne zbiory, każdy z nich zawierałby się w drugim. Jeśli jednak dwa zestawy są zawarte w sobie, są one równe. Dlatego: jest tylko jeden pusty zestaw!

Postulat istnienia zbioru pustego nie jest sprzeczny z żadnymi prawami matematyki, więc dlaczego nie zastosować go w praktyce? Filozoficzna zasada tzwBrzytwa Ockhama» Nakaz wykluczenia zbędnych pojęć, ale w sam raz pojęcie zbioru pustego jest bardzo przydatne w matematyce. Zauważ, że zbiór pusty ma wymiar -1 (minus jeden) - elementy zerowymiarowe to punkty i ich układy rzadkie, elementy jednowymiarowe to linie, a o bardzo złożonych elementach matematycznych o wymiarze fraktalnym mówiliśmy w rozdziale o fraktalach .

Ciekawe, że cały budynek matematyki: liczby, liczby, funkcje, operatory, całki, różniczki, równania… można wyprowadzić z jednego pojęcia – zbioru pustego! Wystarczy założyć, że istnieje pusty zbiór, aby można było łączyć nowo utworzone elementy w zestawy zbuduj całą matematykę. W ten sposób niemiecki logik Gottlob Frege skonstruował liczby naturalne. Zero to klasa zbiorów, których elementy są we wzajemnej korespondencji z elementami zbioru pustego. Pierwsza to klasa zbiorów, których elementy są we wzajemnej korespondencji z elementami zbioru, którego jedynym elementem jest zbiór pusty. Dwa to klasa zbiorów, których elementy są jeden do jednego z elementami zbioru składającego się ze zbioru pustego i zbioru, którego jedynym elementem jest zbiór pusty... i tak dalej. Na pierwszy rzut oka wydaje się to być czymś bardzo skomplikowanym, ale w rzeczywistości tak nie jest.

Błękit rozlał się po mnie

pachniało wrzosem i pachniało miętą...

Wojciech Młynarski, Dziewczyna ze żniw

Trudno to sobie wyobrazić

Nic nie jest trudne do wyobrażenia. W opowiadaniu Stanisława Lema „Jak świat został ocalony” projektant Trurl zbudował maszynę, która zrobi wszystko, zaczynając od litery. Kiedy Klapaucjusz kazał go zbudować Nic, maszyna zaczęła usuwać różne obiekty ze świata - z ostatecznym celem usunięcia wszystkiego. Zanim przerażony Klapaucjusz zatrzymał samochód, galery, cisy, wisienki, siekacze, rymowanki, naganiacze, pufy, młynki, szaszłyki, filidrony i mrozy zniknęły ze świata na zawsze. I rzeczywiście, zniknęli na zawsze…

Józef Tischner bardzo dobrze pisał o nicości w swojej Historii filozofii gór. Podczas ostatnich wakacji postanowiłam doświadczyć tej nicości, a mianowicie wybrałam się na torfowiska między Nowym Targiem a Jabłonką na Podhalu. Obszar ten nazywa się nawet Pustachia. Jedziesz, jedziesz, ale droga nie zmniejsza się – oczywiście na naszą skromną, polską skalę. Pewnego dnia pojechałem autobusem w kanadyjskiej prowincji Saskatchewan. Na zewnątrz było pole kukurydzy. Zdrzemnąłem się na pół godziny. Kiedy się obudziłem, jechaliśmy przez to samo pole kukurydzy... Ale zaraz, czy to jest puste? W pewnym sensie brak zmian jest po prostu pustką.

Jesteśmy przyzwyczajeni do ciągłej obecności różnych przedmiotów wokół nas i od Coś nie możesz uciec nawet z zamkniętymi oczami. „Myślę, więc jestem” – powiedział Kartezjusz. Jeśli już coś pomyślałem, to istnieję, co oznacza, że ​​przynajmniej coś jest na świecie (mianowicie ja). Czy to, o czym myślałem, istnieje? Można o tym dyskutować, ale we współczesnej mechanice kwantowej znana jest zasada Heisenberga: każda obserwacja zaburza stan obserwowanego obiektu. Dopóki tego nie zobaczymy Nic nie istnieje, a kiedy zaczynamy szukać, obiekt przestaje istnieć Tak jak i staje się Coś. Robi się absurdalnie zasada antropiczna: Nie ma sensu pytać, jaki byłby świat, gdybyśmy nie istnieli. Świat jest taki, jakim się nam wydaje. Być może inne istoty będą postrzegać Ziemię jako kanciastą?

Pozyton (taki dodatni elektron) to dziura w przestrzeni, „nie ma elektronu”. W procesie anihilacji elektron wskakuje do tej dziury i „nic się nie dzieje” – nie ma dziury, nie ma elektronu. Pominę wiele dowcipów o dziurach w szwajcarskim serze („im więcej mam, tym mniej…”). Słynny kompozytor John Cage wykorzystał już swoje pomysły do ​​tego stopnia, że ​​skomponował (?) utwór (?), w którym orkiestra siedzi nieruchomo przez 4 minuty 33 sekundy i oczywiście nic nie gra. „Cztery minuty i trzydzieści trzy sekundy to dwieście siedemdziesiąt trzy, 273, a minus 273 stopnie to zero absolutne, przy którym zatrzymuje się wszelki ruch” – wyjaśnił kompozytor (?).

Filtruj do zera, nic, nick, nick, nic, zero!

Jerzego w filmie Andrzeja Wajdy Na przestrzeni lat,

dni mijają"

A co ze wszystkimi?

Wiele osób (od prostych rolników po wybitnych filozofów) zastanawiało się nad fenomenem istnienia. W matematyce sytuacja jest prosta: istnieje coś, co jest spójne.

Zniknęła w marginalnych polach

W chabrach, chwastach i paszczy lwa...

Cóż, takie rzeczy się zdarzają

Zwłaszcza w czasie żniw i żniw

zwłaszcza…

Wojciech Młynarski, Dziewczyna ze żniw

Wszystko jest na drugim krańcu Niczego. W matematyce to wiemy Wszystko nie istnieje. Po prostu zbyt błędny pogląd, że jego istnienie byłoby wolne od kontrowersji. Można to zrozumieć na przykładzie starego paradoksu: „Jeśli Bóg jest wszechmocny, to stworzyć kamień do podniesienia?” Matematyczny dowód, że nie mogą istnieć zbiory wszystkich zbiorów, opiera się na twierdzeniu piosenkarz-Bershtein, który mówi, że „liczba nieskończona” (matematycznie: liczebnik kardynalny) zbiór wszystkich członków danego zbioru jest większy niż liczba elementów tego zbioru.

Jeśli zbiór ma elementy, to ma 2ⁿ podzbiory; na przykład, gdy = 3, a zbiór składa się z {1, 2, 3}, wówczas istnieją następujące podzbiory:

• trzy zestawy dwuelementowe: w każdym z nich brakuje jednej z cyfr 1, 2, 3,
• jeden pusty zestaw,
• trzy komplety jednoelementowe,
• cały zestaw {1,2,3}

– tylko osiem, 2³A czytelnicy, którzy niedawno ukończyli szkołę, chciałbym przypomnieć odpowiednią formułę:

Każdy z symboli Newtona w tym wzorze określa liczbę zestawów k-elementów w zbiorze -elementów.

W matematyce współczynniki dwumianowe pojawiają się w wielu innych miejscach, np. w ciekawych wzorach na zredukowane mnożenie:

az ich dokładnej formy wynika, że ​​ich współzależność jest o wiele bardziej interesująca.

Trudno zrozumieć, czym – z punktu widzenia logiki i matematyki – jest, a czym nie jest Wszystko. Argumenty za nieistnieniem Tak samo jak Kubusia Puchatka, który grzecznie zapytał swojego gościa Tygrysa, czy Tygrysy w ogóle lubią miód, żołędzie i osty? „Tygrysy lubią wszystko” – odpowiedział ten, z którego Kubuś wywnioskował, że jak im się wszystko podoba, to lubią też spać na podłodze, więc on, Vinnie, może wrócić do łóżka.

Kolejny argument paradoks Russella. W mieście jest fryzjer, który goli wszystkich mężczyzn, którzy się nie golą. Czy on się goli? Obie odpowiedzi stoją w sprzeczności z postawionym warunkiem, że zabija się tych i tylko tych, którzy sami tego nie robią.

Szukasz kolekcji wszystkich kolekcji

Na zakończenie podam sprytny, ale najbardziej matematyczny dowód na to, że nie ma zbioru wszystkich zbiorów (nie mylić z nim).

Najpierw pokażemy, że dla dowolnego niepustego zbioru X niemożliwe jest znalezienie wzajemnie unikalnej funkcji, która odwzorowuje ten zbiór na zbiór jego podzbiorów P(X). Załóżmy więc, że ta funkcja istnieje. Oznaczmy to przez tradycyjne f. Ile wynosi f od x? To jest kolekcja. Czy xf należy do x? To jest nieznane. Albo musisz albo nie. Ale dla pewnego x nadal musi być takie, że nie należy do f od x. Cóż, rozważmy zbiór wszystkich x, dla których x nie należy do f(x). Oznaczmy go (ten zbiór) przez A. Odpowiada on jakiemuś elementowi a zbioru X. Czy a należy do A? Załóżmy, że powinieneś. Ale A jest zbiorem zawierającym tylko te elementy z x, które nie należą do f(x)… No, może nie należy do A? Ale zbiór A zawiera wszystkie elementy tej własności, a więc i A. Koniec dowodu.

Dlatego gdyby istniał zbiór wszystkich zbiorów, sam byłby podzbiorem samego siebie, co jest niemożliwe zgodnie z poprzednim rozumowaniem.

Uff, chyba niewielu czytelników widziało ten dowód. Przywołałem ją raczej po to, by pokazać, co musieli zrobić matematycy pod koniec XIX wieku, kiedy zaczęli badać podstawy własnej nauki. Okazało się, że problemy leżą tam, gdzie nikt się ich nie spodziewał. Co więcej, dla całej matematyki te rozumowania dotyczące podstaw nie mają znaczenia: bez względu na to, co dzieje się w piwnicach - cały budynek matematyki stoi na solidnej skale.

Tymczasem na szczycie...

Zwracamy uwagę na jeszcze jedną moralność z opowiadań Stanisława Lema. W jednej ze swoich podróży Iyon Tichi dotarł do planety, której mieszkańcy po długiej ewolucji osiągnęli w końcu najwyższy stopień rozwoju. Wszyscy są silni, mogą wszystko, wszystko mają na wyciągnięcie ręki… i nic nie robią. Kładą się na piasku i wysypują go między palcami. „Jeśli wszystko jest możliwe, to nie warto” – wyjaśniają zszokowanemu Ijonowi. Oby nie spotkało to naszej europejskiej cywilizacji...