Lem, Tokarczuk, Kraków, matematyka

W dniach 3-7 września 2019 r. w Krakowie odbył się jubileuszowy zjazd Polskiego Towarzystwa Matematycznego. Rocznica, bo stulecie założenia Towarzystwa. Istniała w Galicji od I roku (bez przymiotnika, że ​​liberalizm polski cesarza FJ1 miał swoje granice), ale jako organizacja ogólnopolska działała dopiero od 1919 roku. Główne postępy w matematyce polskiej datuje się na lata 1919-1939. XNUMX na Uniwersytecie Jana Kazimierza we Lwowie, ale konwent nie mógł się tam odbyć – i to też nie jest najlepszy pomysł.

Spotkanie miało bardzo uroczysty charakter, obfitujący w wydarzenia towarzyszące (m.in. występ Jacka Wójcickiego na zamku w Niepołomicach). Główne wykłady wygłosiło 28 prelegentów. Były po polsku, bo zaproszonymi gośćmi byli Polacy – niekoniecznie w sensie obywatelstwa, ale uznający się za Polaków. O tak, tylko trzynastu prelegentów pochodziło z polskich jednostek naukowych, pozostałych piętnastu z USA (7), Francji (4), Anglii (2), Niemiec (1) i Kanady (1). Cóż, to dobrze znane zjawisko w ligach piłkarskich.

Najlepsi stale koncertują za granicą. To trochę smutne, ale wolność to wolność. Kilku polskich matematyków zrobiło za granicą kariery nieosiągalne w Polsce. Pieniądze grają tu drugorzędną rolę, ale nie chce mi się pisać na takie tematy. Może tylko dwie uwagi.

W Rosji, a wcześniej w Związku Sowieckim było to i jest na najbardziej świadomym poziomie… i jakoś nikt tam nie chce emigrować. Z kolei w Niemczech o profesurę na dowolnej uczelni ubiega się kilkunastu kandydatów (koledzy z uniwersytetu w Konstancji mówili, że w ciągu roku mieli 120 podań, z czego 50 było bardzo dobrych, a 20 znakomitych).

Nieliczne wykłady Jubileuszowego Kongresu można podsumować w naszym miesięczniku. Nagłówki takie jak „Granice rzadkich grafów i ich zastosowania” lub „Struktura liniowa i geometria podprzestrzeni oraz przestrzenie czynnikowe dla wielowymiarowych przestrzeni znormalizowanych” niczego nie powiedzą przeciętnemu czytelnikowi. Drugi temat wprowadziła moja koleżanka z pierwszych kursów, Nikola Tomczak.

Kilka lat temu została nominowana za osiągnięcie prezentowane w tym wykładzie. Medal Pola jest odpowiednikiem matematyków. Jak dotąd nagrodę tę otrzymała tylko jedna kobieta. Na uwagę zasługuje również wykład Anna Marciniak-Chohra (Uniwersytet w Heidelbergu) „Rola mechanistycznych modeli matematycznych w medycynie na przykładzie modelowania białaczki”.

wszedł do medycyny. Na Uniwersytecie Warszawskim grupa kierowana przez prof. Jerzego Tyurina.

Tytuł wykładu będzie dla Czytelników niezrozumiały Wesława Nizioł (z prestiżowej Wyższej Szkoły Pedagogicznej) „-adyczna teoria Hodge'a". Niemniej jednak to właśnie ten wykład postanowiłem tutaj omówić.

Geometria -adic światy

Zaczyna się od prostych drobiazgów. Czy pamiętasz, Czytelniku, metodę wymiany pisemnej? Zdecydowanie. Przypomnij sobie beztroskie lata podstawówki. Podziel 125051 przez 23 (jest to działanie po lewej stronie). Czy wiesz, że może być inaczej (akcja po prawej)?

Ta nowa metoda jest interesująca. Idę od końca. Musimy podzielić 125051 przez 23. Przez co musimy pomnożyć 23, żeby ostatnią cyfrą było 1? Wyszukiwanie w pamięci i mamy :=7. Ostatnia cyfra wyniku to 7. Pomnóż, odejmij, otrzymamy 489. Jak pomnożyć 23, aby otrzymać 9? Oczywiście o 3. Dochodzimy do momentu, w którym ustalamy wszystkie liczby wyniku. Uważamy, że jest to niepraktyczne i trudniejsze niż nasza zwykła metoda - ale to kwestia praktyki!

Sprawy przybierają inny obrót, gdy dzielny człowiek nie jest całkowicie podzielony przez dzielnik. Zróbmy dzielenie i zobaczmy, co się stanie.

Po lewej typowa ścieżka szkolna. Po prawej „nasi dziwacy”.

Obydwa wyniki możemy sprawdzić mnożąc. Rozumiemy pierwsze: jedna trzecia liczby 4675 to tysiąc pięćset pięćdziesiąt osiem i trzy w tym okresie. Drugie nie ma sensu: jaka to liczba poprzedzona nieskończoną liczbą szóstek, a następnie 8225?

Zostawmy na chwilę kwestię znaczenia. Zagrajmy. Więc podzielmy 1 przez 3, a następnie 1 przez 7, co daje jedną trzecią i jedną siódmą. Bez problemu uzyskamy:

1:3=…6666667, 1/7=…(285714)3.

Ta ostatnia linijka oznacza: blok 285714 powtarza się w nieskończoność na początku, a na koniec jest ich trzech. Dla niewierzących test:

Teraz dodajmy ułamki:

Następnie sumujemy otrzymane liczby dziwne i otrzymujemy (sprawdzamy) tę samą liczbę dziwną.

......95238095238095238095238010

Możemy sprawdzić, czy to jest równe

Istota jeszcze nie została zauważona, ale arytmetyka jest poprawna.

Jeszcze jeden przykład.

Zwykła, choć duża, liczba 40081787109376 ma ciekawą właściwość: jej kwadrat kończy się również na 40081787109376. liczba x40081787109376, czyli (x40081787109376)² również kończy się na x40081787109376.

Wskazówka. Mamy 40081787109376²= 16065496 57881340081787109376, więc następna cyfra to dopełnienie od trzech do dziesięciu, czyli 7. Sprawdźmy: 740081787109376²= 5477210516110077400817 87109376.

Pytanie, dlaczego tak jest, jest trudne. Łatwiej jest znaleźć podobne końcówki dla liczb kończących się na 5. Kontynuując proces znajdowania kolejnych cyfr w nieskończoność, dojdziemy do takich „liczb”, że ²=²= (i żadna z tych liczb nie jest równa zeru ani jedynki).

dobrze rozumiemy. Im dalej po przecinku, tym mniej ważna jest liczba. W obliczeniach inżynierskich ważna jest pierwsza cyfra po przecinku i druga, ale w wielu przypadkach można przyjąć, że stosunek obwodu koła do jego średnicy wynosi 3,14. Oczywiście w przemyśle lotniczym trzeba uwzględnić więcej liczb, ale nie sądzę, żeby było ich więcej niż dziesięć.

Nazwisko pojawiło się w tytule artykułu Stanisław Lem (1921-2006), a także nasz nowy laureat Nagrody Nobla. Dama Olga Tokarczuk Wspomniałem o tym tylko dlatego, że krzycząca niesprawiedliwośćFaktem jest, że Stanisław Lem nie otrzymał Literackiej Nagrody Nobla. Ale to nie jest w naszym kącie.

Lem często przewidywał przyszłość. Zastanawiał się, co by się stało, gdyby uniezależniły się od ludzi. Ile filmów o tej tematyce pojawiło się ostatnio! Lem dość trafnie przewidział i opisał czytnik optyczny oraz farmakologię przyszłości.

Znał matematykę, choć czasami traktował ją jako ozdobę, nie dbając o poprawność obliczeń. Na przykład w opowiadaniu „Próba” pilot Pirksa wchodzi na orbitę B68 z okresem obrotu 4 godziny 29 minut, a instrukcja to 4 godziny 26 minut. Wspomina, że ​​obliczyli z błędem 0,3 proc. Podaje dane do kalkulatora, a kalkulator odpowiada, że ​​wszystko jest w porządku… No nie. Trzy dziesiąte procenta 266 minut to mniej niż minuta. Ale czy ten błąd coś zmienia? Może to było celowe?

Dlaczego o tym piszę? Wielu matematyków stawiało również to pytanie: wyobraź sobie społeczność. Nie mają naszego ludzkiego umysłu. Dla nas 1609,12134 i 1609,23245 to bardzo bliskie liczby – dobre przybliżenie angielskiej mili. Jednak komputery mogą uważać liczby 468146123456123456 i 9999999123456123456 za bliskie. Mają te same dwunastocyfrowe zakończenia.

Im więcej wspólnych cyfr na końcu, tym liczby są bliższe. A to prowadzi do tzw. dystansu -adic. Niech p będzie przez chwilę równe 10; dlaczego tylko „na chwilę”, wyjaśnię… już teraz. Odległość 10 punktów od liczb zapisanych powyżej to 

lub jedna milionowa - ponieważ liczby te mają na końcu sześć wspólnych cyfr. Wszystkie liczby całkowite różnią się od zera o jeden lub mniej. Nie będę nawet pisać szablonu, bo to nie ma znaczenia. Im więcej identycznych liczb na końcu, tym liczby są bliższe (przeciwnie, dla osoby brane są pod uwagę liczby początkowe). Ważne jest, aby p było liczbą pierwszą.

Potem - lubią zera i jedynki, więc widzą wszystko w tych wzorach: 0100110001 1010101101010101011001010101010101111.

W powieści Glos Pana Stanisław Lem wynajmuje naukowców do próby odczytania wiadomości wysłanej z zaświatów, oczywiście zakodowanej zero-jedynkowo. Czy ktoś do nas pisze? Lem przekonuje, że „każdą wiadomość można odczytać, jeśli jest to wiadomość, którą ktoś chciał nam coś powiedzieć”. Ale czy tak jest? Czytelników pozostawiam z tym dylematem.

Żyjemy w przestrzeni XNUMXD R³. List R przypomina, że ​​osie składają się z liczb rzeczywistych, czyli liczb całkowitych, ujemnych i dodatnich, zerowych, wymiernych (czyli ułamków) i niewymiernych, z którymi czytelnicy zetknęli się w szkole () oraz liczb zwanych liczbami przestępnymi, niedostępnych w algebrze (jest to liczba π, która od ponad dwóch tysięcy lat łączy średnicę koła z jego obwodem).

Co by było, gdyby osie naszej przestrzeni były liczbami -adic?

Jerzego Mioduszowskiego, matematyk z UŚ, przekonuje, że tak może być, a nawet, że tak może być. Możemy (mówi Jerzy Mioduszowski) zajmować to samo miejsce w przestrzeni z takimi istotami, nie ingerując i nie widząc się.

Mamy więc całą geometrię „ich” świata do zbadania. Jest mało prawdopodobne, aby „oni” myśleli o nas w ten sam sposób, a także studiowali naszą geometrię, ponieważ nasz jest przypadkiem granicznym wszystkich „ich” światów. „Oni”, czyli wszystkie piekielne światy, gdzie są liczbami pierwszymi. W szczególności = 2 i ten fascynujący świat zero-jedynkowy...

Tutaj czytelnik artykułu może się złościć, a nawet złościć. „Czy to jest ten rodzaj nonsensu, który robią matematycy?” Fantazjują o piciu wódki po obiedzie za moje (=podatnika) pieniądze. I rozproszyć ich na cztery wiatry, niech idą do sowchozów… och, nie ma już sowchozów!

Zrelaksować się. zawsze mieli skłonność do takich żartów. Pozwólcie, że wspomnę tylko o twierdzeniu o kanapkach: jeśli mam kanapkę z serem i szynką, mogę ją pokroić w jednym cięciu, aby przekroić na pół bułkę, szynkę i ser. Jest to bezużyteczne w praktyce. Chodzi o to, że jest to tylko zabawne zastosowanie interesującego ogólnego twierdzenia z analizy funkcjonalnej.

Jak poważne jest radzenie sobie z liczbami -adic i powiązaną geometrią? Przypomnę czytelnikowi, że liczby wymierne (w uproszczeniu: ułamki) leżą gęsto na prostej, ale nie wypełniają jej ściśle.

Liczby niewymierne żyją w „dziurach”. Jest ich wiele, nieskończenie wiele, ale można też powiedzieć, że ich nieskończoność jest większa niż tych najprostszych, w których liczymy: jeden, dwa, trzy, cztery… i tak dalej aż do ∞. To jest nasze ludzkie wypełnianie „dziur”. Odziedziczyliśmy tę strukturę mentalną po Pitagorejczycy. 

Ale ciekawe i ważne dla matematyka jest to, że nie można „zapełnić” tych dziur liczbami niewymiernymi i p-adycznymi (dla wszystkich p pierwszych). Dla tych czytelników, którzy to rozumieją (a uczono tego w każdej szkole średniej trzydzieści lat temu), chodzi o to, że każda sekwencja spełniająca Stan Cauchy'ego, zbiega się.

Przestrzeń, w której jest to prawdą, nazywana jest kompletną („nic nie brakuje”). Zapamiętam numer 547721051611007740081787109376.

Sekwencja 0,5, 0,54, 0,547, 0,5477, 0,54772 i tak dalej zbiega się do pewnej granicy, która wynosi około 0,5477210516110077400 81787109376.

Jednak z punktu widzenia odległości 10-adicowej ciąg liczb 6, 76, 376, 9376, 109376, 7109376 itd. również zbiega się do „dziwnej” liczby… 547721051 611007740081787109376.

Ale nawet to może nie być wystarczającym powodem, by dawać naukowcom publiczne pieniądze. Ogólnie rzecz biorąc, my (matematycy) bronimy się, mówiąc, że nie da się przewidzieć, do czego będą przydatne nasze badania. Niemal pewne jest, że każdy się do czegoś przyda i tylko działanie na szerokim froncie ma szansę powodzenia.

Jeden z największych wynalazków, aparat rentgenowski, powstał po przypadkowym odkryciu promieniotwórczości Bekerel. Gdyby nie ten przypadek, wiele lat badań byłoby prawdopodobnie bezużyteczne. „Szukamy sposobu na wykonanie zdjęcia rentgenowskiego ludzkiego ciała”.

Na koniec rzecz najważniejsza. Wszyscy zgadzają się, że umiejętność rozwiązywania równań odgrywa pewną rolę. I tutaj nasze dziwne numery są dobrze chronione. Odpowiednie twierdzenie (Nienawidzę Minkowskiego) mówi, że niektóre równania mogą być rozwiązane w liczbach wymiernych wtedy i tylko wtedy, gdy mają pierwiastki rzeczywiste i pierwiastki w każdym ciele -adycznym.

Mniej więcej takie podejście zostało przedstawione Andrzej Wiś, który rozwiązał najsłynniejsze równanie matematyczne ostatnich trzystu lat - polecam czytelnikom wpisać je do wyszukiwarki „Ostatnie twierdzenie Fermata”.