Kolorowe kwadraty i zaćmienia słońca

Artykuł opisuje moje zajęcia dla gimnazjalistów - stypendystów Krajowego Funduszu na rzecz Dzieci. Fundacja wyszukuje szczególnie uzdolnione dzieci i młodzież (od XNUMX. klasy szkoły podstawowej do liceum) i oferuje „stypendia” wybranym uczniom. Nie polegają one jednak bynajmniej na wypłacie gotówki, a na kompleksowej dbałości o rozwój talentu z reguły przez wiele lat. W przeciwieństwie do wielu innych tego typu projektów, znani naukowcy, osobistości kultury, wybitni humaniści i inni mądrzy ludzie, a także niektórzy politycy, poważnie traktują podopiecznych Fundacji.

Działalność Fundacji obejmuje wszystkie dyscypliny będące podstawowymi przedmiotami szkolnymi, z wyjątkiem sportu, w tym sztuki. Fundusz powstał w 1983 roku jako antidotum na ówczesną rzeczywistość. Każdy może zgłosić się do funduszu (zwykle przez szkołę, najlepiej przed końcem roku szkolnego), ale oczywiście jest pewne sito, pewna procedura kwalifikacyjna.

Jak już wspomniałam, artykuł powstał na podstawie moich kursów mistrzowskich, konkretnie w Gdyni, w marcu 2016 roku, w Gimnazjum nr 24 w III Liceum Ogólnokształcącym im. Marynarka wojenna. Seminaria te od lat organizowane są pod patronatem Fundacji przez Wojciecha Thomalczyka, nauczyciela o niezwykłej charyzmie i wysokim poziomie intelektualnym. W 2008 roku znalazł się w pierwszej dziesiątce w Polsce, którym przyznano tytuł profesora pedagogiki (przewidziany prawem wiele lat temu). Jest lekka przesada w stwierdzeniu: „Edukacja jest osią świata”.

i księżyc są zawsze fascynujące – wtedy można poczuć, że żyjemy na maleńkiej planecie w ogromnej przestrzeni, gdzie wszystko jest w ruchu, mierzone w centymetrach i sekundach. Trochę mnie to nawet przeraża, także perspektywa czasowa. Dowiadujemy się, że kolejne całkowite zaćmienie, widoczne z terenu dzisiejszej Warszawy, nastąpi w... 2681 roku. Ciekawe kto to zobaczy? Pozorne rozmiary Słońca i Księżyca na naszym niebie są prawie takie same - dlatego zaćmienia są tak krótkie i tak spektakularne. Przez wieki te krótkie minuty powinny wystarczyć astronomom, aby zobaczyć koronę słoneczną. To dziwne, że zdarzają się dwa razy w roku... ale to tylko oznacza, że ​​gdzieś na Ziemi można je zobaczyć przez krótki okres czasu. W wyniku ruchów pływowych Księżyc oddala się od Ziemi – za 260 mln lat będzie tak daleko, że będziemy (my???) oglądać tylko zaćmienia obrączkowe.

Najwyraźniej jako pierwszy przewidział zaćmienie, był Tales z Miletu (28-585 wiek pne). Prawdopodobnie nie dowiemy się, czy faktycznie tak się stało, czyli czy je przewidział, ponieważ fakt, że zaćmienie w Azji Mniejszej nastąpiło w maju 567 roku 566 p.n.e., jest faktem potwierdzonym przez współczesne obliczenia. Oczywiście przytaczam dane dla dzisiejszego rachunku czasu. Kiedy byłem dzieckiem, wyobrażałem sobie, jak ludzie liczą lata. A więc to jest na przykład XNUMX lat pne, zbliża się Sylwester i ludzie się radują: tylko XNUMX lat pne! Jakże musieli być szczęśliwi, gdy w końcu nadeszła „nasza era”! Jakiego przełomu tysiącleci doświadczyliśmy kilka lat temu!

Matematyka obliczania dat i zakresów zaćmienia, nie jest szczególnie skomplikowany, ale jest napakowany różnego rodzaju czynnikami związanymi z regularnością i, co gorsza, z nierównomiernym ruchem ciała na orbitach. Chciałbym nawet znać tę matematykę. W jaki sposób Tales z Miletu mógł dokonać niezbędnych obliczeń? Odpowiedź jest prosta. Musisz mieć mapę nieba. Jak zrobić taką mapę? To również nie jest trudne, starożytni Egipcjanie wiedzieli, jak to zrobić. O północy na dach świątyni wychodzi dwóch księży. Każdy z nich siada i rysuje to, co widzi (podobnie jak jego kolega). Po dwóch tysiącach lat wiemy wszystko o ruchu planet...

Piękna geometria, czyli zabawa na „dywan”

Grecy nie lubili liczb, uciekali się do geometrii. Oto, co zrobimy. Nasz zaćmienie będą proste, kolorowe, ale równie ciekawe i prawdziwe. Przyjmujemy konwencję, że postać niebieska porusza się w taki sposób, że przyćmiewa postać czerwoną. Nazwijmy niebieską postać księżycem, a czerwoną figurę słońcem. Zadajemy sobie następujące pytania:

1. jak długo trwa zaćmienie;
2. gdy połowa celu jest zakryta;

   Ryż. 1 Wielobarwny „dywan” ze słońcem i księżycem

3. jaki jest maksymalny zasięg;
4. czy można przeanalizować zależność pokrycia tarczy od czasu? W tym artykule (jestem ograniczony ilością tekstu) skupię się na drugim pytaniu. Za tym kryje się ładna geometria, być może bez nudnych obliczeń. Spójrzmy na rys. 1. Czy można założyć, że będzie to związane z… zaćmieniem Słońca?

Muszę szczerze powiedzieć, że zadania, które będę omawiać będą specjalnie dobrane, dostosowane do wiedzy i umiejętności gimnazjalistów i licealistów. Ale trenujemy na takich zadaniach, jak muzycy grają na gamach, a sportowcy wykonują ćwiczenia ogólnorozwojowe. Poza tym, czy to nie jest po prostu piękny dywan (zdj. 1)?

Ryż. 2 „Niebieski” Księżyc i „Czerwone” Słońce

Nasze ciała niebieskie, przynajmniej na początku, będą kolorowymi kwadratami. Księżyc jest niebieski, słońce jest czerwone (najlepsze do kolorowania). z teraźniejszością zaćmienie Księżyc goni słońce po niebie, dogania je... i zamyka. U nas będzie tak samo. Najprostszy przypadek, gdy Księżyc porusza się względem Słońca, jak pokazano na ryc. 2. Zaćmienie zaczyna się, gdy krawędź tarczy Księżyca dotknie krawędzi tarczy Słońca (ryc. 2), a kończy się, gdy wychodzi poza nią.

Ryż. 3 Księżyc zbliża się do słońca po przekątnej

Zakładamy, że „Księżyc” porusza się o jedną komórkę na jednostkę czasu, na przykład na minutę. Zaćmienie trwa wtedy osiem jednostek czasu, powiedzmy minuty. Połowa zaćmienia Słońca całkowicie wygaszony Połowa tarczy zamyka się dwukrotnie: po 2 i 6 minutach. Wykres procentowego zaciemnienia jest prosty. Przez pierwsze dwie minuty tarcza zamyka się równomiernie w tempie od zera do 1, przez następne dwie minuty jest naświetlana w tym samym tempie.

Oto bardziej interesujący przykład (ryc. 3). Księżyc zbliża się do słońca po przekątnej. Zgodnie z naszą umową dotyczącą płatności minutowych zaćmienie trwa 8√2 minut - w połowie tego czasu mamy zaćmienie całkowite. Obliczmy, jaka część Słońca jest zasłonięta po czasie t (Rys. 3). Jeżeli od początku zaćmienia minęło t minut i w rezultacie Księżyc wygląda jak na rys. 5, to (uwaga!) Jest zatem przykryta (pole kwadratu APQR), równa połowie tarczy słonecznej, a więc została przykryta, gdy tj. 4 minuty później (wtedy 4 minuty przed końcem zaćmienia).

Ryż. 4 Wykres funkcji „cieniowania”.

Całość trwa jedną chwilę (t = 4√2), a wykres funkcji „część zacieniona” składa się z dwóch łuków paraboli (rys. 4).

Nasz niebieski księżyc dotknie rogu z czerwonym słońcem, ale go zakryje, idąc nie po przekątnej, ale lekko po przekątnej.Ciekawa geometria pojawia się, gdy trochę skomplikujemy ruch (ryc. 6). Kierunek ruchu jest teraz wektorem [4,3], czyli „cztery komórki w prawo, trzy komórki w górę”. Pozycja Słońca jest taka, że ​​zaćmienie rozpoczyna się (pozycja A), gdy boki „ciał niebieskich” zbiegają się do jednej czwartej ich długości. Kiedy Księżyc przesunie się do pozycji B, zaćmi on jedną szóstą Słońca, aw pozycji C zaćmienie połowy. W pozycji D mamy całkowite zaćmienie, a potem wszystko wraca, „jak było”.

Ryż. 5 Część Słońca ukryta w czasie t

Zaćmienie kończy się, gdy Księżyc znajdzie się w pozycji G. Trwało tak długo, jak długość przekroju AG. Jeśli, tak jak poprzednio, za jednostkę czasu przyjmiemy czas, w którym Księżyc przechodzi „jedno pole”, wówczas długość AG jest równa. Gdybyśmy wrócili do starej konwencji, że nasze ciała niebieskie mają wymiary 4 na 4, wynik byłby inny (co?). Jak łatwo pokazać, cel zamyka się po t < 15. Wykres funkcji „procent pokrycia ekranu” można zobaczyć na rys. 6.

Ryż. 6 Wykres funkcji „zabezpieczenia procentowego”.

Równanie zaćmienia i skoku

Ryż. 7 Przeszkoda dysku słonecznego podczas zaćmienia pokazana na ryc. 6

Problem zaćmień byłby niepełny, gdybyśmy nie wzięli pod uwagę przypadku okręgów. Jest to o wiele bardziej skomplikowane, ale spróbujmy ustalić, kiedy jeden okrąg zasłania połowę drugiego - aw najprostszym przypadku, gdy jeden z nich porusza się wzdłuż średnicy łączącej je oba. Rysunek jest znany posiadaczom niektórych kart kredytowych.

Obliczenie położenia pól jest skomplikowane, gdyż wymaga po pierwsze znajomości wzoru na pole odcinka koła, po drugie znajomości łuku kąta, a po trzecie (co najgorsze) umiejętności rozwiązać pewne równanie skoku. Nie będę wyjaśniał, czym jest „równanie przechodnie”, spójrzmy na przykład (ryc. 8).

Ryż. 8 „Sferyczne” zaćmienie

Okrągły przekrój to „miska”, która pozostaje po wycięciu koła linią prostą. Pole takiego odcinka to S = 1/2r²(φ-sinφ), gdzie r to promień okręgu, a φ to kąt środkowy, na którym spoczywa odcinek (rys. 8). Można to łatwo uzyskać, odejmując obszar trójkąta od obszaru okrągłego sektora.

Odcinek O₁O₂ (odległość między środkami okręgów) jest wtedy równa 2rcosφ/2, a wysokość (szerokość, „talia”) h = 2rsinφ/2. Jeśli więc chcemy obliczyć, kiedy Księżyc zakryje połowę tarczy słonecznej, musimy rozwiązać równanie, które po uproszczeniu ma postać:

Ryż. 9 Wykresy dwóch funkcji

Rozwiązanie takich równań wykracza poza prostą algebrę - równanie zawiera zarówno kąty, jak i ich funkcje trygonometryczne. Równanie jest poza zasięgiem tradycyjnych metod. Dlatego to się nazywa skakać. Przyjrzyjmy się najpierw wykresom obu funkcji, czyli funkcji i funkcji.Z tego rysunku możemy odczytać przybliżone rozwiązanie. Możemy jednak uzyskać przybliżenie iteracyjne lub… skorzystać z opcji Solver w arkuszu kalkulacyjnym Excel. Każdy licealista powinien to umieć, bo mamy XX wiek. Użyłem bardziej wyrafinowanego narzędzia Mathematica i oto nasze rozwiązanie z 20 miejscami dziesiętnymi niepotrzebnej precyzji:

UstawPrecyzję[ZnajdźRoot[x==Sin[x]+Pi/2,{x,2}],20] {x⇒2.3098814600100574523}.

Ryż. 10 Animacja zaćmienia w matematica

Zamieniamy to na stopnie, mnożąc przez 180/π. Otrzymujemy 132 stopnie, 20 minut, 45 i ćwierć sekundy łukowej. Obliczamy, że odległość do środka okręgu wynosi O₁O₂ = promień 0,808, a „talia” 2,310.