CZYLI DO KOGO, czyli: SPRÓBUJ GDZIE MOŻESZ - część 2

W poprzednim odcinku zajmowaliśmy się Sudoku, grą arytmetyczną, w której liczby są w zasadzie układane na różnych wykresach według pewnych zasad. Najpopularniejszą opcją jest szachownica 9x9, podzielona dodatkowo na dziewięć kwadratów 3x3. Liczby od 1 do 9 należy na nim tak ustawić, aby nie powtarzały się ani w rzędzie pionowym (matematycy mówią: w kolumnie), ani w rzędzie poziomym (matematycy mówią: w rzędzie) - i w dodatku tak że się nie powtarzają. powtórz w obrębie dowolnego mniejszego kwadratu.

Na Figa. 1 widzimy tę łamigłówkę w prostszej wersji, czyli kwadratu 6 × 6 podzielonego na prostokąty 2 × 3. Wstawiamy do niego liczby 1, 2, 3, 4, 5, 6 - tak, aby nie powtarzały się w pionie, ani poziomo ani w każdym z wybranych sześciokątów.

Spróbujmy pokazać w górnym kwadracie. Czy potrafisz wypełnić go liczbami od 1 do 6 zgodnie z zasadami określonymi w tej grze? Jest to możliwe - ale niejednoznaczne. Zobaczmy - narysuj kwadrat po lewej lub kwadrat po prawej stronie.

Można powiedzieć, że to nie jest podstawa do układanki. Zwykle zakładamy, że łamigłówka ma jedno rozwiązanie. Zadanie znalezienia różnych baz dla „dużego” Sudoku 9x9 jest zadaniem trudnym i nie ma szans na jego całkowite rozwiązanie.

Innym ważnym połączeniem jest system sprzeczności. Dolny środkowy kwadrat (ten z numerem 2 w prawym dolnym rogu) nie może zostać ukończony. Dlaczego?

Zabawa i rekolekcje

Grajmy dalej. Korzystajmy z dziecięcej intuicji. Wierzą, że rozrywka jest wstępem do nauki. Polećmy w kosmos. dołączony Figa. 2 każdy widzi siatkę czworościanwykonane z piłek, np. piłek pingpongowych? Pamiętajmy o szkolnych lekcjach geometrii. Kolory po lewej stronie obrazka wyjaśniają do czego należy przykleić klocek podczas montażu. W szczególności trzy narożne (czerwone) kulki zostaną sklejone w jedną. Dlatego muszą zawierać ten sam numer. Może 9. Dlaczego? Czemu nie?

Och, nie wyraziłem się задачи. Brzmi to mniej więcej tak: Czy można tak dopasować liczby od 0 do 9 do widocznej siatki, aby każda krawędź zawierała wszystkie liczby? Zadanie nie jest trudne, ale wymaga dużej wyobraźni! Nie będę psuć czytelnikom zabawy i nie podam rozwiązania.

To bardzo piękny i niedoceniany kształt regularny ośmiościan, zbudowana z dwóch piramid (=piramid) o podstawie kwadratowej. Jak sama nazwa wskazuje, ośmiościan ma osiem twarzy.

Ośmiościan ma sześć wierzchołków. To jest sprzeczne sześcianktóry ma sześć ścian i osiem wierzchołków. Krawędzie obu brył są takie same - po dwanaście. Ten podwójne ciała stałe - oznacza to, że łącząc środki ścian sześcianu otrzymamy ośmiościan, a środki ścian ośmiościanu dadzą nam sześcian. Oba te uderzenia działają („bo muszą”) Wzór Eulera: Suma liczby wierzchołków i liczby ścian jest o 2 większa niż liczba krawędzi.

3. Ośmiościan foremny w rzucie równoległym i siatka oktaedru złożona z kul w taki sposób, że każda krawędź ma cztery kule.

Zadanie 1. Najpierw napisz ostatnie zdanie poprzedniego akapitu, korzystając ze wzoru matematycznego. NA Figa. 3 widzisz sieć ośmiościenną, również składającą się z kul. Na każdej krawędzi znajdują się cztery kule. Każda ściana jest trójkątem złożonym z dziesięciu kul. Zadanie postawione jest niezależnie: czy można w okręgach siatki umieścić liczby od 0 do 9 tak, aby po sklejeniu bryły każda ściana zawierała wszystkie liczby (wynika to bez powtórzeń). Tak jak poprzednio, największym wyzwaniem w tym problemie jest to, jak siatka zmienia się w bryłę. Nie potrafię tego wyjaśnić na piśmie, dlatego też nie podaję rozwiązania tutaj.

4. Dwa dwudziestościany wykonane z piłek pingpongowych. Zwróć uwagę na inny schemat kolorów.

już Platon (a żył w V-IV wieku p.n.e.) znał wszystkie wielościany foremne: czworościan, sześcian, ośmiościan, dwunastościan i dwudziestościan. To niesamowite, jak się tam dostał - bez ołówka, bez papieru, bez długopisu, bez książek, bez smartfona, bez internetu! Nie będę tu mówić o dwunastościanie. Ale dwudziestościenne sudoku jest interesujące. Widzimy tę bryłę ilustracja 4i jego sieć włączona rys. 5.

5. Regularna siatka ikozaedryczna.

Tak jak poprzednio, nie jest to siatka w takim sensie, w jakim pamiętamy (?!) ze szkoły, ale sposób sklejania trójkątów z kulek (kulek).

Zadanie 2. Ile kulek potrzeba do złożenia takiego dwudziestościanu? Czy nadal słuszne jest rozumowanie: skoro każda ściana jest trójkątem, to jeśli ma być 20 ścian, to potrzeba aż 60 kul?

6. Dwudziestościanowa siatka kul. Każde koło reprezentuje np. piłeczkę do ping-ponga, ale zbudowanie okręgów na okręgu oznaczonych tym samym kolorem łączy się w jedną całość. Mamy więc dwanaście kul (= dwanaście wierzchołków: czerwona, niebieska, fioletowa, niebieska i osiem żółtych).

Łatwo zauważyć, że trzy liczby w dwudziestościanie nie wystarczą. Dokładniej: nie da się ponumerować wierzchołków liczbami 1, 2, 3 tak, aby każda (trójkątna) ściana miała te trzy liczby i nie było powtórzeń. Czy jest to możliwe z czterema liczbami? Tak to mozliwe! Przyjrzyjmy się Ryż. 6 i 7.

7. Oto jak ponumerować kule tworzące dwudziestościan tak, aby każda ściana zawierała liczby inne niż 1, 2, 3, 4. Które z ciał na ryc. 4 kolorowe w ten sposób?

Zadanie 3. Trzy z czterech liczb można wybrać na cztery sposoby: 123, 124, 134, 234. Znajdź pięć takich trójkątów w dwudziestościanie na ryc. 7 (a także z ilustracje jeden).

Zadanie 4 (wymaga bardzo dobrej wyobraźni przestrzennej). Dwudziestościan ma dwanaście wierzchołków, co oznacza, że ​​można go skleić z dwunastu kul (Figa. 7). Zauważ, że istnieją trzy wierzchołki (= kule) oznaczone numerem 1, trzy wierzchołkami oznaczonymi numerem 2 i tak dalej. W ten sposób kule tego samego koloru tworzą trójkąt. Co to za trójkąt? Może równoramienny? Spójrz ponownie ilustracje jeden.

Kolejne zadanie jest dla dziadków i wnuków. Rodzice też mogą w końcu spróbować swoich sił, ale potrzebują cierpliwości i czasu.

Zadanie 5. Kup dwanaście (albo jeszcze lepiej 24) piłeczki pingpongowe, trochę farby w czterech kolorach, pędzel i potrzebny klej – nie polecam szybkich, typu Super Glue czy Droplet, bo za szybko schną i są niebezpieczne dla dzieci. Przyklej dwudziestościan. Ubierz wnuczkę w T-shirt, który zaraz potem zostanie wyprany (lub wyrzucony). Przykryj stół folią (najlepiej gazetą). Ostrożnie pokoloruj dwudziestościan czterema kolorami 1, 2, 3, 4, jak pokazano na ryc. Figa. 7. Możesz zmienić kolejność - najpierw pokoloruj balony, a potem je przyklej. Jednocześnie małe kółka należy pozostawić niepomalowane, aby farba nie przyklejała się do farby.

Teraz najtrudniejsze zadanie (a raczej cała ich sekwencja).

Zadanie 6 (a dokładniej temat ogólny). Zbuduj dwudziestościan podobny do czworościanu i ośmiościanu Ryż. 2 i 3 Oznacza to, że na każdej krawędzi powinny znajdować się cztery kule. W tym wariancie zadanie jest zarówno czasochłonne, jak i kosztowne. Zacznijmy od ustalenia, ile piłek potrzebujesz. Każda ściana ma dziesięć kul, więc dwudziestościan potrzebuje dwustu? NIE! Musimy pamiętać, że wiele piłek jest wspólnych. Ile krawędzi ma dwudziestościan? Można to żmudnie obliczyć, ale do czego służy wzór Eulera?

w–k+s=2

gdzie w, k, s to odpowiednio liczba wierzchołków, krawędzi i ścian. Pamiętamy, że w = 12, s = 20, co oznacza k = 30. Mamy 30 krawędzi dwudziestościanu. Można to zrobić inaczej, bo jeśli jest 20 trójkątów, to mają one tylko 60 krawędzi, ale dwa z nich są wspólne.

Policzmy, ile piłek potrzeba. Każdy trójkąt ma tylko jedną kulę wewnętrzną – ani u góry naszego ciała, ani na krawędzi. Zatem mamy tylko 20 takich piłek. Jest 12 szczytów. Każda krawędź ma dwie kule niebędące wierzchołkami (znajdują się wewnątrz krawędzi, ale nie wewnątrz twarzy). Ponieważ jest 30 krawędzi, będzie 60 kulek, ale dwie z nich są wspólne, co oznacza, że ​​potrzebujesz tylko 30 kulek, więc potrzebujesz w sumie 20 + 12 + 30 = 62 kulki. Piłki można kupić za co najmniej 50 groszy (przeważnie więcej). Jeśli dodać do tego koszt kleju wychodzi... dużo. Dobre klejenie wymaga kilku godzin żmudnej pracy. Całość razem nadają się do relaksującego spędzania czasu - polecam je zamiast np. oglądania telewizji.

Odwrót 1. W cyklu filmów Andrzeja Wajdy „Przez lata, przez dni” dwóch mężczyzn gra w szachy, „bo muszą jakoś zabić czas przed lunchem”. Dzieje się to w galicyjskim Krakowie. Rzeczywiście: gazety już czytano (wówczas miały 4 strony), telewizji i telefonu jeszcze nie wynaleziono, meczów piłkarskich nie było. Znudzenie kałużami. W takiej sytuacji ludzie wymyślili rozrywkę dla siebie. Dziś mamy je po naciśnięciu pilota...

Odwrót 2. Na spotkaniu Stowarzyszenia Nauczycieli Matematyki w 2019 r. hiszpański profesor zademonstrował program komputerowy, który może pomalować solidne ściany na dowolny kolor. To było trochę przerażające, bo rysowali tylko ręce i prawie odcinali ciało. Pomyślałem sobie: ile frajdy można uzyskać z takiego „malowania”? Wszystko trwa dwie minuty, a do czwartej nic nie pamiętamy. Tymczasem staromodne „rękodzieło” uspokaja i wychowuje. Kto nie wierzy, niech spróbuje.

Wróćmy do XX wieku i naszych realiów. Jeśli nie chcemy relaksu w postaci pracochłonnego sklejania kulek, to przynajmniej narysujemy siatkę dwudziestościanu, której krawędzie mają cztery kule. Jak to zrobić? Krusz prawidłowo rys. 6. Uważny czytelnik domyśla się już problemu:

Zadanie 7. Czy można ponumerować kule liczbami od 0 do 9 tak, aby wszystkie te liczby znajdowały się na każdej ścianie takiego dwudziestościanu?

Za co nam płacą?

Dziś często zastanawiamy się nad celem naszej działalności, a „szary podatnik” zapyta, po co ma płacić matematykom za rozwiązywanie takich zagadek?

Odpowiedź jest dość prosta. Takie „zagadki”, ciekawe same w sobie, są „fragmentem czegoś poważniejszego”. Przecież defilady wojskowe to tylko zewnętrzna, spektakularna część trudnej służby. Podam tylko jeden przykład, ale zacznę od dziwnego, ale uznanego na całym świecie przedmiotu matematyki. W 1852 roku student języka angielskiego zapytał swojego profesora, czy dowolną mapę można pomalować na cztery kolory, tak aby sąsiednie kraje zawsze pojawiały się w różnych kolorach? Dodam, że za „sąsiadujące” nie uznajemy tych, które spotykają się tylko w jednym punkcie, jak np. stany Wyoming i Utah w USA. Profesor nie wiedział... a problem czekał na rozwiązanie ponad sto lat.

8. Dwudziestościan z bloków RECO. Reflektory błyskowe pokazują, co dwudziestościan ma wspólnego z trójkątem i pięciokątem. W każdym wierzchołku spotyka się pięć trójkątów.

Stało się to z nieoczekiwanego kierunku. W 1976 roku grupa amerykańskich matematyków napisała program rozwiązujący ten problem (i zdecydowali: tak, cztery kolory zawsze wystarczą). Był to pierwszy dowód na fakt matematyczny uzyskany za pomocą „maszyny matematycznej” – jak pół wieku temu nazywano komputer (a jeszcze wcześniej: „mózg elektroniczny”).

Oto specjalnie pokazana „mapa Europy” (Figa. 9). Kraje, które mają wspólną granicę, są ze sobą połączone. Kolorowanie mapy jest równoznaczne z kolorowaniem okręgów na tym wykresie (zwanym wykresem), tak aby żadne połączone okręgi nie były tego samego koloru. Spojrzenie na Liechtenstein, Belgię, Francję i Niemcy pokazuje, że trzy kolory to za mało. Jeśli chcesz, Czytelniku, pokoloruj go na cztery kolory.

9. Kto z kim graniczy w Europie?

No tak, ale czy jest to warte pieniędzy podatników? Spójrzmy zatem na ten sam wykres nieco inaczej. Zapomnijmy, że są państwa i granice. Niech kółka symbolizują pakiety informacyjne, które mają być przesłane z jednego punktu do drugiego (na przykład z P do EST), a segmenty reprezentują możliwe połączenia, z których każde ma swoją przepustowość. Wysłać tak szybko, jak to możliwe?

Najpierw spójrzmy na bardzo uproszczoną, ale także bardzo interesującą z matematycznego punktu widzenia sytuację. Musimy wysłać coś z punktu S (= jako początek) do punktu M (= koniec) za pomocą sieci połączeń o tej samej przepustowości, powiedzmy 1. Widzimy to w Figa. 10.

10. Siatka połączeń Stacyjka Zdrój – Megapolis.

Wyobraźmy sobie, że z S do M należy przesłać około 89 bitów informacji. Autor tych słów lubi problemy z koleją, więc wyobraża sobie, że jest kierownikiem Staci Zdrój, skąd musi wysłać 144 wagony. do stacji Megapolis. Dlaczego 144? Ponieważ, jak zobaczymy, zostanie to wykorzystane do obliczenia przepustowości całej sieci. Pojemność wynosi 1 w każdym miejscu, tj. W jednostce czasu może podróżować jeden samochód (jeden bit informacji, ewentualnie także gigabajt).

Zadbajmy o to, aby wszystkie samochody spotkały się w M. Każdy dotrze tam w 89 jednostkach czasu. Jeśli mam do wysłania bardzo ważny pakiet informacyjny od rozmiaru S do M, dzielę go na grupy po 144 jednostki i przesyłam jak powyżej. Matematyka gwarantuje, że będzie to najszybsze. Skąd wiedziałem, że potrzebujesz 89? Właściwie to zgadłem, ale gdybym tego nie zgadł, musiałbym to rozgryźć równanie Kirchhoffa (czy ktoś pamięta? - to równania opisujące przepływ prądu). Przepustowość sieci wynosi 184/89, co odpowiada w przybliżeniu 1,62.

O radości

Swoją drogą lubię numer 144. Bardzo lubiłem jeździć autobusem z tym numerem na Plac Zamkowy w Warszawie – kiedy w pobliżu nie było odrestaurowanego Zamku Królewskiego. Być może młodzi czytelnicy wiedzą, co to jest tuzin. Jest to 12 egzemplarzy, ale tylko starsi czytelnicy zapamiętają, że jest ich kilkanaście, czyli kilkanaście. 122=144, to jest tzw. wiele. I każdy, kto zna matematykę trochę więcej niż ze szkolnego programu nauczania, od razu to zrozumie Figa. 10 mamy liczby Fibonacciego i przepustowość sieci jest bliska „złotej liczby”

W ciągu Fibonacciego 144 jest jedyną liczbą stanowiącą doskonały kwadrat. Sto czterdzieści cztery to także „liczba radosna”. Tak postępował indyjski matematyk-amator Dattatreya Ramachandra Kaprekar w 1955 roku nazwał liczby podzielne przez sumę ich cyfr składowych:

Gdyby tylko o tym wiedział Adama Miscavige'a, z pewnością nie napisałby w Dziadach: „Z obcej matki; jego krew to jego starzy bohaterowie / A jego imię to czterdzieści cztery, tylko bardziej eleganckie: A jego imię to sto czterdzieści cztery.

Traktuj zabawę poważnie

Mam nadzieję, że przekonałem czytelników, że Sudoku to zabawna strona rzeczy, którą zdecydowanie warto traktować poważnie. Nie mam już siły rozwijać tego tematu. Aha, pełne obliczenie przepustowości sieci z wykresu podanego na stronie Figa. 9 napisanie układu równań zajęłoby dwie lub więcej godzin - może nawet dziesiątki sekund (!) pracy z komputerem.