Podróż do nierealnego świata matematyki

Ten artykuł napisałem w jednym ze środowisk, po wykładzie i praktyce w technikum informatycznym. Bronię się przed krytyką uczniów tej szkoły, ich wiedzy, stosunku do nauki i przede wszystkim umiejętności dydaktycznych. Tego... nikt ich nie uczy.

Dlaczego tak się bronię? Z prostego powodu - jestem w wieku, w którym prawdopodobnie otaczający nas świat nie jest jeszcze zrozumiały. Może uczę je zaprzęgać i rozprzęgać konie, a nie prowadzić samochód? Może nauczę ich pisać gęsim piórem? Chociaż mam o kimś lepsze zdanie, uważam się za „naśladowcę”, ale…

Do niedawna w liceum mówiono o liczbach zespolonych. I właśnie w tę środę wróciłem do domu, rzuciłem - prawie żaden z uczniów jeszcze nie nauczył się, co to jest i jak korzystać z tych liczb. Niektórzy patrzą na całą matematykę jak gęś na malowane drzwi. Ale byłem też autentycznie zaskoczony, kiedy powiedzieli mi, jak się uczyć. Mówiąc najprościej, każda godzina wykładu to dwie godziny pracy domowej: przeczytanie podręcznika, nauka rozwiązywania problemów z zadanego tematu itp. Tak przygotowani przechodzimy do ćwiczeń, gdzie wszystko poprawiamy… Przyjemnie, studentom najwyraźniej wydawało się, że siedzenie na wykładzie – najczęściej wyglądanie przez okno – już gwarantuje wejście wiedzy do głowy.

Zatrzymywać się! Wystarczy tego. Opiszę swoją odpowiedź na pytanie, które otrzymałam podczas zajęć ze stypendystami Krajowego Funduszu na rzecz Dzieci, instytucji wspierającej utalentowane dzieci z całego kraju. Pytanie (a raczej sugestia) brzmiało:

— Czy mógłbyś nam coś powiedzieć o liczbach nierzeczywistych?

„Oczywiście” – odpowiedziałem. 

Rzeczywistość liczb

„Przyjaciel to inny ja, przyjaźń to stosunek liczb 220 do 284” – powiedział Pitagoras. Chodzi o to, że suma dzielników liczby 220 wynosi 284, a suma dzielników liczby 284 wynosi 220:

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284. Nawiasem mówiąc, biblijny Jakub dał Ezawowi 220 owiec i baranów na znak przyjaźni (Rdz 32:14 ).

Inny interesujący zbieg okoliczności między liczbami 220 i 284 jest następujący: siedemnaście najwyższych liczb pierwszych to 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53 , i 59.

Ich suma to 2x220, a suma kwadratów to 59x284.

Pierwszy. Nie ma pojęcia „liczby rzeczywistej”. To tak, jakbyś po przeczytaniu artykułu o słoniach pytał: „Teraz poprosimy o niesłonie”. Są całości i niecałości, racjonalne i irracjonalne, ale nie ma nierzeczywistych. Konkretnie: liczby, które nie są rzeczywiste, nie są nazywane nieważnymi. Istnieje wiele rodzajów „liczb” w matematyce i różnią się one od siebie, jak – porównując zoologa – słoń i dżdżownica.

Po drugie, wykonamy operacje, o których być może już wiesz, że są zabronione: wyciąganie pierwiastków kwadratowych z liczb ujemnych. Cóż, matematyka pokona takie bariery. Czy ma to jednak sens? W matematyce, jak w każdej innej nauce, to, czy teoria wejdzie na zawsze do skarbnicy wiedzy, zależy… od jej zastosowania. Jeśli jest bezużyteczny, to ląduje w śmietniku, a potem w jakimś śmietniku historii wiedzy. Bez liczb, o których mówię na końcu tego artykułu, nie można rozwijać matematyki. Ale zacznijmy od kilku drobiazgów. Co to są liczby rzeczywiste, wiesz. Wypełniają linię liczbową gęsto i bez luk. Wiesz też, co to są liczby naturalne: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, …….. – wszystkie się nie zmieszczą pamięć nawet najwspanialsza. Mają też piękną nazwę: naturalna. Mają tak wiele ciekawych właściwości. Jak ci się to podoba:

1 + 15 + 42 + 98 + 123 + 179 + 206 + 220 = 3 + 11 + 46 + 92 + 129 + 175 + 210 + 218

1² + 15² + 42² + 98² + 123² + 179² + 206² + 220² = 3² + 11² + 46² + 92² + 129² + 175² + 210² + 218²

1³ + 15³ + 42³ + 98³ + 123³ + 179³ + 206³ + 220³ = 3³ + 11³ + 46³ + 92³ + 129³ + 175³ + 210³ + 218³

1⁴ + 15⁴ + 42⁴ + 98⁴ + 123⁴ + 179⁴ + 206⁴ + 220⁴ = 3⁴ + 11⁴ + 46⁴ + 92⁴ + 129⁴ + 175⁴ + 210⁴ + 218⁴

1⁵ + 15⁵ + 42⁵ + 98⁵ + 123⁵ + 179⁵ + 206⁵ + 220⁵ = 3⁵ + 11⁵ + 46⁵ + 92⁵ + 129⁵ + 175⁵ + 210⁵ + 218⁵

1⁶ + 15⁶ + 42⁶ + 98³ + 123⁶ + 179⁶ + 206⁶ + 220⁶ = 3⁶ + 11⁶ + 46⁶ + 92⁶ + 129⁶ + 175⁶ + 210⁶ + 218⁶

1⁷ + 15⁷ + 42⁷ + 98³ + 123⁷ + 179⁷ + 206⁷ + 220⁷ = 3⁷ + 11⁷ + 46⁷ + 92⁷ + 129⁷ + 175⁷ + 210⁷ + 218⁷

„Zainteresowanie liczbami naturalnymi jest rzeczą naturalną” — powiedział Karl Lindenholm, a Leopold Kronecker (1823–1891) ujął to zwięźle: „Bóg stworzył liczby naturalne — wszystko inne jest dziełem człowieka!” Ułamki zwykłe (nazywane przez matematyków liczbami wymiernymi) mają również niesamowite właściwości:

i w równości:

możesz, zaczynając od lewej strony, pocierać plusy i zastępować je znakami mnożenia - a równość pozostanie prawdziwa:

I tak dalej.

Jak wiesz, dla ułamków a/b, gdzie aib są liczbami całkowitymi, a b ≠ 0, mówią Liczba wymierna. Ale tylko po polsku tak się nazywają. Mówią po angielsku, francusku, niemiecku i rosyjsku. Liczba wymierna. W języku angielskim: liczby wymierne. Liczby niewymierne to irracjonalne, irracjonalne. Mówimy też po polsku o irracjonalnych teoriach, ideach i czynach - to szaleństwo, wyimaginowane, niewytłumaczalne. Mówią, że kobiety boją się myszy - czy to nie jest takie irracjonalne?

W starożytności liczby miały duszę. Każdy coś znaczył, każdy coś symbolizował, każdy odzwierciedlał cząstkę tej harmonii Wszechświata, czyli po grecku Kosmosu. Samo słowo „kosmos” oznacza dokładnie „porządek, porządek”. Najważniejsze były sześć (liczba doskonała) i dziesięć, suma kolejnych liczb 1+2+3+4, złożona z innych liczb, których symbolika przetrwała do dziś. Tak więc Pitagoras nauczał, że liczby są początkiem i źródłem wszystkiego, a jedynie odkryciem liczby niewymierne skierował ruch pitagorejski w stronę geometrii. Znamy to rozumowanie ze szkoły

√2 jest liczbą niewymierną

Przypuśćmy bowiem, że istnieje: i że ułamek ten nie może być zredukowany. W szczególności zarówno p, jak i q są nieparzyste. Podnieśmy do kwadratu: 2q²=p². Liczba p nie może być nieparzysta, ponieważ wtedy p² byłoby również, a lewa strona równości jest wielokrotnością 2. Stąd p jest parzyste, tj. p = 2r, stąd p²= 4 lata². Redukujemy równanie 2q²= 4 lata² przez 2. Otrzymujemy q²= 2 lata² i widzimy, że q również musi być parzyste, co zakładaliśmy, że tak nie jest. Otrzymana sprzeczność kończy dowód - ten wzór często można znaleźć w każdej książce matematycznej. Ten poszlakowy dowód jest ulubioną sztuczką sofistów.

Tego ogromu nie mogli zrozumieć pitagorejczycy. Wszystko musi dać się opisać liczbami, a przekątna kwadratu, którą każdy może narysować patykiem po piasku, nie ma żadnej, to znaczy mierzalnej długości. „Nasza wiara była daremna” — zdają się mówić pitagorejczycy. Jak to? To trochę... irracjonalne. Unia próbowała ratować się sekciarskimi metodami. Każdy, kto odważy się ujawnić swoje istnienie liczby niewymierne, miał być ukarany śmiercią, a pierwszy wyrok najwyraźniej wykonał sam mistrz.

Ale „myśl przeszła bez szwanku”. Nastał złoty wiek. Grecy pokonali Persów (Maraton 490, blok 479). Umocniła się demokracja, powstały nowe ośrodki myśli filozoficznej i nowe szkoły. Pitagorejczycy wciąż zmagali się z liczbami niewymiernymi. Niektórzy głosili: nie pojmiemy tej tajemnicy; możemy tylko kontemplować i podziwiać Uncharted. Ci drudzy byli bardziej pragmatyczni i nie szanowali Tajemnicy. W tym czasie pojawiły się dwie konstrukcje mentalne, które umożliwiły zrozumienie liczb niewymiernych. Fakt, że dziś całkiem dobrze je rozumiemy, należy do Eudoksosa (V wiek p.n.e.), a dopiero pod koniec XIX wieku niemiecki matematyk Ryszard Dedekind nadał teorii Eudoksosa właściwy rozwój zgodnie z wymogami rygorystycznej logika matematyczna.

Masa postaci lub tortury

Czy można żyć bez liczb? Nawet gdyby życie potoczyło się… Musielibyśmy iść do sklepu po buty kijem, którym wcześniej zmierzyliśmy długość stopy. „Chciałbym jabłka, ach, oto jest!” – pokazywalibyśmy sprzedawców na rynku. „Jak daleko jest z Modlina do Nowego Dwura Mazowieckiego”? "Całkiem blisko!"

Liczby służą do mierzenia. Za ich pomocą wyrażamy też wiele innych pojęć. Na przykład skala mapy pokazuje, jak bardzo zmniejszyła się powierzchnia kraju. Skala dwa do jednego lub po prostu 2 wyraża fakt, że coś zostało podwojone. Powiedzmy matematycznie: każdej jednorodności odpowiada liczba - jej skala.

Zadanie. Wykonaliśmy kserografię, kilkakrotnie powiększając obraz. Następnie powiększony fragment ponownie powiększono b razy. Jaka jest ogólna skala powiększenia? Odpowiedź: a × b pomnożone przez b. Te skale trzeba pomnożyć. Liczba „minus jeden”, -1, odpowiada jednej precyzji, która jest wyśrodkowana, tj. Obrócona o 180 stopni. Jaka liczba odpowiada obrotowi o 90 stopni? Nie ma takiego numeru. Jest, jest… a raczej będzie wkrótce. Czy jesteś gotowy na moralne tortury? Miej odwagę i weź pierwiastek kwadratowy z minus jeden. Słucham? Co nie możesz? W końcu powiedziałem ci, żebyś był odważny. Wyciągnij go! Hej, cóż, ciągnij, ciągnij... Pomogę... Tutaj: -1 Skoro już to mamy, spróbujmy to wykorzystać... Oczywiście, teraz możemy wyodrębnić pierwiastki wszystkich liczb ujemnych, na przykład przykład.:

√-4 = 2√-1, √-16 = 4√-1

„Niezależnie od udręki psychicznej, jaką to pociąga za sobą”. Oto co Girolamo Cardano napisał w 1539 roku, próbując przezwyciężyć trudności umysłowe związane z – jak to wkrótce zaczęto nazywać – wyimaginowane ilości. Uważał te...

...Zadanie. Podziel 10 na dwie części, których iloczyn wynosi 40. Pamiętam, że z poprzedniego odcinka napisał coś takiego: Na pewno niemożliwe. Zróbmy jednak tak: podziel 10 na dwie równe części, każda równa 5. Pomnóż je - okazało się, że 25. Od wynikowych 25 odejmij teraz 40, jeśli chcesz, a otrzymasz -15. Teraz spójrz: √-15 dodane i odjęte od 5 daje iloczyn 40. Są to liczby 5-√-15 i 5 + √-15. Weryfikacja wyniku została przeprowadzona przez Cardano w następujący sposób:

„Bez względu na ból serca, który się z tym wiąże, pomnóż 5 + √-15 przez 5-√-15. Otrzymujemy 25 - (-15), co jest równe 25 + 15. Tak więc iloczyn wynosi 40 .... To naprawdę trudne”.

Cóż, ile wynosi: (1 + √-1) (1-√-1)? Pomnóżmy. Pamiętaj, że √-1 × √-1 = -1. Świetnie. Teraz zadanie trudniejsze: od a + b√-1 do ab√-1. Co się stało? Oczywiście tak: (a + b√-1) (ab√-1) = a²+b²

Co w tym ciekawego? Na przykład fakt, że możemy rozkładać wyrażenia na czynniki, których „wcześniej nie znaliśmy”. Skrócony wzór mnożenia dla²-b² Pamiętasz wzór na²+b² nie było, bo być nie mogło. W dziedzinie liczb rzeczywistych wielomian²+b² jest nieuniknione. Oznaczmy „nasz” pierwiastek kwadratowy z „minus jeden” literą i.²= -1. To „nierzeczywista” liczba pierwsza. I to właśnie opisuje obrót samolotu o 90 stopni. Dlaczego? Mimo wszystko,²= -1, a połączenie jednego obrotu o 90 stopni i drugiego obrotu o 180 stopni daje obrót o 45 stopni. Jaki typ rotacji jest opisany? Oczywiście obrót o XNUMX stopni. Co znaczy -i? To trochę bardziej skomplikowane:

(-I)² = -i × (-i) = +i² = -1

Zatem -i opisuje również obrót o 90 stopni, dokładnie w kierunku przeciwnym do obrotu i. Który jest lewy, a który prawy? Musisz umówić się na wizytę. Zakładamy, że liczba i określa obrót w kierunku, który matematycy uważają za dodatni: przeciwnie do ruchu wskazówek zegara. Liczba -i opisuje obrót w kierunku, w którym poruszają się wskaźniki.

Ale czy liczby takie jak i i -i istnieją? Czy! Po prostu ożywiliśmy je. Słucham? Że istnieją tylko w naszej głowie? Cóż, czego się spodziewać? Wszystkie inne liczby również istnieją tylko w naszym umyśle. Musimy zobaczyć, czy liczba noworodków przetrwa. Dokładniej, czy projekt jest logiczny i czy do czegoś się przydadzą. Proszę mi uwierzyć na słowo, że wszystko jest w porządku i że te nowe numery są naprawdę pomocne. Liczby takie jak 3+i, 5-7i, bardziej ogólnie: a+bi nazywane są liczbami zespolonymi. Pokazałem ci, jak możesz je zdobyć, obracając samolot. Można je wprowadzić na różne sposoby: jako punkty na płaszczyźnie, jako wielomiany, jako pewnego rodzaju tablice liczbowe… i za każdym razem są one takie same: równanie x² +1=0 nie ma elementu... hokus pokus już jest!!!! Radujmy się i radujmy!!!

Koniec wycieczki

Na tym kończymy naszą pierwszą wycieczkę po kraju fałszywych liczb. Z innych nieziemskich liczb wspomnę jeszcze te, które mają nieskończoną liczbę cyfr z przodu, a nie z tyłu (nazywane są 10-adowymi, dla nas ważniejsze są p-adyczne, gdzie p jest liczbą pierwszą), na przykład przykład X = … … … 96109004106619977392256259918212890625

Proszę policzmy X². Ponieważ? Co jeśli obliczymy kwadrat liczby, po której następuje nieskończona liczba cyfr? Cóż, zróbmy to samo. Wiemy, że X² = X.

Znajdźmy inną taką liczbę z nieskończoną liczbą cyfr na początku, która spełnia równanie. Wskazówka: kwadrat liczby kończącej się na sześć również kończy się na sześć. Kwadrat liczby, która kończy się na 76, również kończy się na 76. Kwadrat liczby, która kończy się na 376, również kończy się na 376. Kwadrat liczby, która kończy się na 9376, również kończy się na 9376. Kwadrat liczby, która kończy się na XNUMX w… Istnieją również liczby, które są tak małe, że będąc dodatnimi, pozostają mniejsze niż jakakolwiek inna liczba dodatnia. Są tak małe, że czasami wystarczy je podnieść do kwadratu, aby uzyskać zero. Istnieją liczby, które nie spełniają warunku a × b = b × a. Istnieją również liczby nieskończone. Ile jest liczb naturalnych? Nieskończenie wiele? Tak, ale ile? Jak można to wyrazić liczbą? Odpowiedź: najmniejsza z nieskończonych liczb; jest oznaczony piękną literą: A i uzupełniony indeksem zerowym A₀ , aleph-zero.

Istnieją również liczby, o których istnieniu nie wiemy... lub w które możesz wierzyć lub nie wierzyć, jak chcesz. A skoro o tym mowa: mam nadzieję, że nadal lubisz Unreal Numbers, Fantasy Species Numbers.