Dlaczego nie dzielimy przez zero?

Czytelnicy mogą się zastanawiać, dlaczego poświęcam cały artykuł tak banalnemu zagadnieniu? Powodem jest zatrważająca liczba studentów (!) dokonujących mimochodem operacji pod tą nazwą. I nie tylko studenci. Czasami łapię i nauczycieli. Co uczniowie takich nauczycieli będą potrafili z matematyki? Bezpośrednim powodem napisania tego tekstu była rozmowa z nauczycielem, dla którego dzielenie przez zero nie było problemem…

Z zerem tak, poza uciążliwością zupełnie niczym, bo tak naprawdę nie potrzebujemy go używać w życiu codziennym. Nie chodzimy na zakupy za zero jajek. „W pokoju jest jedna osoba” brzmi jakoś naturalnie, a „zero osób” brzmi sztucznie. Lingwiści twierdzą, że zero jest poza systemem językowym.

Bez zera możemy obejść się również na rachunkach bankowych: wystarczy użyć - jak na termometrze - czerwonego i niebieskiego dla wartości dodatnich i ujemnych (zwróć uwagę, że dla temperatury naturalne jest używanie czerwieni dla liczb dodatnich, a dla kont bankowych jest na odwrót, ponieważ obciążenie powinno wywołać ostrzeżenie, więc czerwony jest wysoce zalecany).

Włączając zero jako liczbę naturalną, dotykamy problemu różniczkowania Liczby kardynalne od gospodarstwo domowe. W ciągu 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, …..

moc liczby jest taka sama jak liczba miejsca, w którym się znajduje. W przeciwnym razie jest już w sekwencji 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, …..

Na drugim miejscu jest liczba zestawów pojedynczych, na trzecim liczba zestawów z dwoma elementami i tak dalej. Trzeba tłumaczyć, dlaczego np. nie numerujemy od zera miejsc sportowców w zawodach. Wtedy zdobywca pierwszego miejsca otrzymywał srebrny medal (złoto szło zdobywcy miejsca zerowego) itd. Nieco podobny zabieg stosowano w piłce nożnej – nie wiem, czy Czytelnicy wiedzą, że „pierwsza liga” oznacza „ podążając za najlepszymi”. „, a liga zerowa ma stać się „wielką ligą”.

Czasem słyszymy argument, że trzeba zaczynać od zera, bo to wygodne dla informatyków. Kontynuując te rozważania należy zmienić definicję kilometra – powinno to być 1024 m, bo tyle bajtów mieści się w kilobajcie (odniosę się do znanego informatykom żartu: „Czym się różni świeżak od student informatyki i student piątego roku tego wydziału? że kilobajt to 1000 kilobajtów, ostatnia - że kilometr to 1024 metry")!

Innym punktem widzenia, który należy już traktować poważnie, jest to: zawsze mierzymy od zera! Wystarczy spojrzeć na dowolną skalę na linijce, na wadze domowej, nawet na zegarze. Skoro mierzymy od zera, a liczenie można rozumieć jako pomiar z jednostką bezwymiarową, to powinniśmy liczyć od zera.

To prosta sprawa, ale...

Zostawmy ogólne rozumowanie i wróćmy do dzielenia przez zero. Sprawa jest prosta i byłaby prosta, gdyby nie… no i co z tego? Pomyślmy i spróbujmy. Ile to może być - jeden podzielony przez zero? Zobaczmy: 1/0 = x. Pomnóż obie strony przez mianownik lewej strony.

Otrzymujemy 1=0. Czy jest coś nie tak! Co się stało? Ach, zgadnij! Założenie, że istnieje iloraz jedności i zera, prowadzi do sprzeczności. A jeśli nie można podzielić przez zero, to inna liczba może. Jeśli, Czytelniku, wzruszasz ramionami i zastanawiasz się, dlaczego autor (czyli ja) pisze o takich frazesach, to… bardzo się cieszę!

Formuły 0/0 = 0 można by zaciekle bronić, ale jest ona sprzeczna z zasadą, że wynik dzielenia liczby przez samą siebie jest równy jeden. Oczywiście, ale zupełnie inne są w rachunku różniczkowym takie symbole jak 0/0, °/° i tym podobne. Nie oznaczają one żadnej liczby, ale są oznaczeniami symbolicznymi dla poszczególnych sekwencji określonych typów.

W książce o elektrotechnice znalazłem ciekawe porównanie: dzielenie przez zero jest tak samo niebezpieczne jak elektryczność pod wysokim napięciem. To normalne: zgodnie z prawem Ohma stosunek napięcia do rezystancji jest równy prądowi: V = U / R. Gdyby rezystancja wynosiła zero, teoretycznie nieskończony prąd przepływałby przez przewodnik, spalając wszystkie możliwe przewodniki.

Kiedyś napisałem wiersz o niebezpieczeństwach dzielenia przez zero na każdy dzień tygodnia. Pamiętam, że najbardziej dramatycznym dniem był czwartek, ale szkoda całej mojej pracy w tej dziedzinie.

Gdy dzielisz coś przez zero

Bardzo wczesny poniedziałek

Tydzień, co się właśnie stało

Poniosłeś już sromotną porażkę.

Kiedy we wtorek po południu

W mianowniku wstawiasz zero

Powiem ci wtedy, że się mylisz

Zły matematyk!

Kiedy przez zero, przez perwersję,

Chcę podzielić się w środę

Wpadniesz w wiele kłopotów

Masz siano i wodę w głowie!

Był z nami niejaki Bartek.

Był niezgodny z regulaminem.

W czwartek jest podzielna przez zero.

Nie ma go już między nami!

Jeśli ogarnia cię dziwne pragnienie

Podziel przez zero w piątek

Będę szczery, będę szczery:

Słaby początek tego weekendu.

Kiedy jest zero, gdzieś w sobotę

Dzielnik będzie twój (bez pogrubienia)

Uklęknij pod ogrodzeniem kościoła.

To jest twoje zmartwychwstanie.

Chcesz zero pod kreską,

Zrób sobie wakacje w niedzielę

Przynieś kredę, czarną tablicę.

Napisz: nie jest podzielna przez zero!

Zero kojarzy się z pustką i nicością. Rzeczywiście, przyszedł do matematyki jako wielkość, która dodana do jakiejkolwiek nie zmienia jej: x + 0 = x. Ale teraz zero pojawia się w kilku innych wartościach, przede wszystkim jako początek skali. Jeśli za oknem nie ma ani dodatniej temperatury, ani mrozu, to… jest zero, co nie znaczy, że w ogóle nie ma temperatury. Zabytek klasy zerowej to nie taki, który od dawna jest rozbierany i po prostu nie istnieje. Wręcz przeciwnie, to coś jak Wawel, Wieża Eiffla i Statua Wolności.

Cóż, znaczenie zera w systemie pozycyjnym jest nie do przecenienia. Czy wiesz, Czytelniku, ile zer ma Bill Gates na swoim koncie bankowym? Nie wiem, ale chciałbym połowę. Najwyraźniej Napoleon Bonaparte zauważył, że ludzie są jak zera: nabierają znaczenia poprzez pozycję. W filmie Andrzeja Wajdy Z biegiem lat, z biegiem dni, zapalony artysta Jerzy eksploduje: „Filister to zero, nihil, nic, nic, nihil, zero”. Ale zero może być dobre: ​​„zero odchyleń od normy” oznacza, że ​​wszystko idzie dobrze i tak trzymaj!

Wróćmy do matematyki. Zero można dodawać, odejmować i mnożyć bezkarnie. „Przytyłam zero kilogramów” – mówi Manya do Anyi. „I to jest interesujące, ponieważ schudłam tyle samo”, odpowiada Anya. Zjedzmy więc sześć zerowych porcji lodów sześć razy, to nam nie zaszkodzi.

Nie możemy dzielić przez zero, ale możemy dzielić przez zero. Talerz pierogów zero można łatwo podać tym, którzy czekają na jedzenie. Ile dostanie każdy?

Zero nie jest dodatnie ani ujemne. To i numer niepozytywneи nieujemne. Spełnia nierówności x≥0 i x≤0. Sprzeczność „coś pozytywnego” nie jest „czymś negatywnym”, ale „czymś ujemnym lub równym zeru”. Matematycy, wbrew regułom języka, zawsze będą mówić, że coś jest „równe zeru”, a nie „zero”. Aby uzasadnić tę praktykę, mamy: jeśli czytamy formułę x = 0 „x wynosi zero”, to x = 1 czytamy „x równa się jeden”, co można przełknąć, ale co z „x = 1534267”? Nie można również przypisać wartości liczbowej do znaku 0⁰ani nie podnosić zera do potęgi ujemnej. Z drugiej strony możesz dowolnie rootować zero... a wynik zawsze będzie wynosił zero. 

Funkcja wykładnicza y = a^x, dodatnia podstawa a, nigdy nie staje się zerem. Wynika z tego, że nie ma logarytmu zerowego. Rzeczywiście, logarytm a do podstawy b jest wykładnikiem, do którego należy podnieść podstawę, aby otrzymać logarytm a. Dla a = 0 taki wskaźnik nie istnieje, a zero nie może być podstawą logarytmu. Jednak zero w „mianowniku” symbolu Newtona to coś innego. Zakładamy, że te konwencje nie prowadzą do sprzeczności.

fałszywe dowody

Dzielenie przez zero jest częstym przedmiotem fałszywych dowodów i zdarza się nawet doświadczonym matematykom. Podam dwa z moich ulubionych przykładów. Pierwszy jest algebraiczny. „Udowodnię”, że wszystkie liczby są równe. Załóżmy, że istnieją dwie liczby, które nie są równe. Zatem jeden z nich jest większy od drugiego, niech a > b. Załóżmy, że c jest ich różnicą

c \uXNUMXd a - b. Mamy więc a - b = c, skąd a = b + c.

Mnożymy obie części tego ostatniego przez a - b:

a² – ab = ab + ac – b2 – pne.

Ak tłumaczę na lewą stronę, oczywiście pamiętam o zmianie znaku:

a² - ab - ac = ab - b2 - pne.

Wykluczam czynniki wspólne:

A (a-b-c) \uXNUMXd b (a-b-c),

Udostępniam i mam to co chciałem:

za = b.

A właściwie jeszcze dziwniejsze, bo założyłem, że a > b, i dostałem, że a = b. Jeśli w powyższym przykładzie "oszukiwanie" jest łatwe do rozpoznania, to w dowodzie geometrycznym poniżej nie jest już tak łatwo. Udowodnię, że... trapez nie istnieje. Figura powszechnie nazywana trapezem nie istnieje.

Ale załóżmy najpierw, że istnieje coś takiego jak trapez (ABCD na poniższym rysunku). Ma dwa równoległe boki („podstawy”). Rozciągnijmy te podstawy, jak pokazano na rysunku, aby uzyskać równoległobok. Jego przekątne dzielą drugą przekątną trapezu na odcinki, których długości są oznaczone x, y, z, jak w rysunek 1. Z podobieństwa odpowiednich trójkątów otrzymujemy proporcje:

gdzie definiujemy:

Oraz

gdzie definiujemy:

Odejmij boki równości oznaczone gwiazdkami:

 Skracając oba boki o x − z, otrzymujemy – a/b = 1, co oznacza, że ​​a + b = 0. Ale liczby a, b to długości podstaw trapezu. Jeśli ich suma wynosi zero, to one również są równe zeru. Oznacza to, że figura taka jak trapez nie może istnieć! A skoro prostokąty, romby i kwadraty to też trapezy, to, drogi Czytelniku, rombów, prostokątów i kwadratów też nie ma...

Tak

Dzielenie się informacjami jest najbardziej interesującą i najtrudniejszą z czterech podstawowych czynności. Tutaj po raz pierwszy spotykamy się ze zjawiskiem tak powszechnym w dorosłości: „odgadnij odpowiedź, a potem sprawdź, czy dobrze zgadłeś”. Bardzo trafnie ujął to Daniel K. Dennett („Jak popełniać błędy?”, w How It Is – A Scientific Guide to the Universe, CiS, Warszawa, 1997):

Ta metoda „zgadywania” nie przeszkadza nam w dorosłym życiu – być może dlatego, że uczymy się jej wcześnie i zgadywanie nie jest trudne. Ideologicznie to samo zjawisko występuje na przykład w indukcji matematycznej (całkowitej). W tym samym miejscu „odgadujemy” formułę, a następnie sprawdzamy, czy nasze przypuszczenie jest prawidłowe. Studenci zawsze pytają: „Skąd znaliśmy wzór? Jak to wyjąć?” Kiedy studenci zadają mi to pytanie, obracam ich pytanie w żart: „Wiem to, ponieważ jestem profesjonalistą, ponieważ płacą mi za wiedzę”. Uczniom w szkole można odpowiedzieć w tym samym stylu, tylko poważniej.

Ćwiczenia. Zauważ, że dodawanie i mnożenie w piśmie zaczynamy od najniższej jednostki, a dzielenie od najwyższej jednostki.

Połączenie dwóch pomysłów

Nauczyciele matematyki zawsze podkreślali, że to, co nazywamy separacją dorosłych, jest połączeniem dwóch koncepcyjnie różnych idei: obudowa i separacja.

Pierwszy (obudowa) występuje w zadaniach, których archetypem jest:

Dziel-dziel Są to zadania takie jak:

? (Zachowujemy oryginalny styl tego problemu, zaczerpnięty z podręcznika Juliana Zgozalewicza wydanego w Krakowie w 1892 r. - złoty to złoty reński, waluta, która była w obiegu w Cesarstwie Austro-Węgierskim do początku XIX wieku).

Rozważmy teraz dwa problemy z najstarszy podręcznik do matematyki w języku polskim, ks Tomasz Clos (1538). To dywizja czy coupe? Rozwiąż to tak, jak uczniowie w XIX wieku powinni:

(Tłumaczenie z polskiego na polski: W beczce jest kwarta i cztery garnki. Garnek to cztery kwarty. Ktoś kupił 20 beczek wina za 50 zł na handel. Cło i podatek (akcyza?) wyniesie 8 zł. sprzedać kwartę, żeby zarobić 8 zł?)

Sport, fizyka, kongruencja

Czasami w sporcie trzeba coś podzielić przez zero (stosunek bramek). Cóż, sędziowie jakoś sobie z tym radzą. Jednak w algebrze abstrakcyjnej są one na porządku dziennym. ilości niezerowektórego kwadrat jest równy zeru. Można to nawet prosto wytłumaczyć.

Rozważmy funkcję F, która wiąże punkt (y, 0) z punktem na płaszczyźnie (x, y). Co to jest F², czyli podwójne wykonanie F? Funkcja zerowa - każdy punkt ma obraz (0,0).

Wreszcie wielkości niezerowe, których kwadrat jest równy 0, są dla fizyków prawie chlebem powszednim, a liczby postaci a + bε, gdzie ε ≠ 0, ale ε² = 0, matematycy nazywają liczby podwójne. Występują w analizie matematycznej iw geometrii różniczkowej.

W końcu w arytmetyce jest coś, co przynajmniej w nazwie ma dzielenie przez zero. Pochodzi z stosowność. Niech Z oznacza zbiór liczb całkowitych. Dzielenie zbioru Z przez p oznacza, że ​​każdą liczbę (liczbę całkowitą) przyrównujemy do jakiejś innej, czyli takiej, przez którą ich różnica jest podzielna. Tak więc, gdy mamy pięć rodzajów liczb odpowiadających liczbom 0, 1, 2, 3, 4 - możliwe reszty z dzielenia przez 5. Formuła jest zapisana w następujący sposób:

mod, gdy różnica jest wielokrotnością.

Dla = 2 mamy tylko dwie liczby: 0 i 1. Dzielenie liczb całkowitych na dwie takie klasy jest równoznaczne z dzieleniem ich na parzyste i nieparzyste. Wymieńmy to teraz. Różnica jest zawsze podzielna przez 1 (każda liczba całkowita jest podzielna przez 1). Czy można przyjąć =0? Spróbujmy: kiedy różnica dwóch liczb jest wielokrotnością zera? Tylko wtedy, gdy te dwie liczby są równe. Zatem dzielenie zbioru liczb całkowitych przez zero ma sens, ale nie jest interesujące: nic się nie dzieje. Należy jednak podkreślić, że nie jest to dzielenie liczb w sensie znanym ze szkoły podstawowej.

Takie działania są po prostu zabronione, podobnie jak długa i szeroka matematyka.

Ryż. 2. Identyfikacja liczb za pomocą porównania

(drzewo 5 i drzewo 2)