Nowa matematyka maszynowa? Eleganckie wzory i bezradność

Według niektórych ekspertów maszyny mogą wymyślać lub, jeśli chcesz, odkrywać zupełnie nową matematykę, której my, ludzie, nigdy nie widzieliśmy ani o której nie myśleliśmy. Inni twierdzą, że maszyny same niczego nie wymyślają, mogą jedynie reprezentować znane nam wzory w inny sposób i w ogóle nie radzą sobie z niektórymi problemami matematycznymi.

Niedawno zaprezentowała się grupa naukowców z Instytutu Technion w Izraelu oraz firmy Google zautomatyzowany system generowania twierdzeńktórą nazwali maszyną Ramanujan od nazwiska matematyka Srinivasi Ramanujanktórzy opracowali tysiące przełomowych formuł w teorii liczb z niewielką lub żadną formalną edukacją. System opracowany przez naukowców przekształcił szereg oryginalnych i ważnych formuł w uniwersalne stałe, które pojawiają się w matematyce. Artykuł na ten temat został opublikowany w czasopiśmie Nature.

Jedna z formuł generowanych maszynowo może być wykorzystana do obliczenia wartości uniwersalnej stałej zwanej Numer kataloński, bardziej wydajne niż przy użyciu wcześniej znanych formuł odkrytych przez ludzi. Jednak naukowcy twierdzą, że Samochód Ramanujana nie ma odbierać ludziom matematyki, ale raczej oferować pomoc matematykom. Nie oznacza to jednak, że ich system jest pozbawiony ambicji. Jak piszą, Maszyna „próbuje naśladować matematyczną intuicję wielkich matematyków i dostarczać wskazówek do dalszych matematycznych poszukiwań”.

System przyjmuje założenia dotyczące wartości stałych uniwersalnych (takich jak) zapisanych jako eleganckie formuły zwane ułamkami ciągłymi lub ułamkami ciągłymi (1). Jest to nazwa metody wyrażania liczby rzeczywistej jako ułamka w specjalnej formie lub granicy takich ułamków. Ułamek łańcuchowy może być skończony lub mieć nieskończenie wiele ilorazów._i/b_i; frakcja A_k/B_k otrzymany przez odrzucenie ułamków częściowych w ułamku ciągłym, zaczynając od (k + 1), nazywa się k-tym reduktem i można go obliczyć za pomocą wzorów:_-1= 1, A₀=b₀B_-1=0,V₀= 1, A_k=b_kA_k-1+a_kA_k-2B_k=b_kB_k-1+a_kB_k-2; jeśli ciąg reduktów jest zbieżny do skończonej granicy, to ułamek ciągły nazywamy zbieżnym, w przeciwnym razie jest rozbieżny; Ułamek ciągły nazywa się arytmetycznym if_i= 1, p₀ ukończone, b_i (i>0) – naturalne; ułamek arytmetyczny ciągły jest zbieżny; każda liczba rzeczywista rozwija się do ciągłego ułamka arytmetycznego, który jest skończony tylko dla liczb wymiernych.

1. Przykład zapisania Pi jako ułamka łańcuchowego

Algorytm maszyny Ramanujana wybiera dowolne stałe uniwersalne dla lewej strony i ułamki ciągłe dla prawej strony, a następnie oblicza każdą stronę osobno z pewną precyzją. Jeśli obie strony wydają się pokrywać, ilości są obliczane z większą precyzją, aby upewnić się, że dopasowanie nie jest dopasowaniem lub niedokładnością. Co ważne, istnieją już formuły, które pozwalają obliczyć wartości np. stałych uniwersalnych z dowolną precyzją, więc jedyną przeszkodą w sprawdzeniu zgodności strony jest czas obliczeń.

Przed wdrożeniem takich algorytmów matematycy musieli użyć już istniejącego. wiedza matematyczna i twierdzeniazrobić takie założenie. Dzięki automatycznym domysłom generowanym przez algorytmy matematycy mogą wykorzystać je do odtworzenia ukrytych twierdzeń lub bardziej „eleganckich” wyników.

Najważniejszym odkryciem badaczy jest nie tyle nowa wiedza, ile nowe założenie o zaskakującej wadze. To pozwala obliczenie stałej katalońskiej, uniwersalna stała, której wartość jest potrzebna w wielu problemach matematycznych. Wyrażenie go jako ciągłego ułamka w nowo odkrytym założeniu pozwala na najszybsze dotychczas obliczenia, pokonując wcześniejsze formuły, których przetwarzanie w komputerze trwało dłużej. Wydaje się, że oznacza to nowy punkt postępu w informatyce od czasu, gdy komputery po raz pierwszy pokonały szachistów.

Z czym AI nie może sobie poradzić

Algorytmy maszynowe Jak widać, niektóre rzeczy robią w innowacyjny i skuteczny sposób. W obliczu innych problemów są bezradni. Grupa naukowców z University of Waterloo w Kanadzie odkryła klasę problemów przy użyciu nauczanie maszynowe. Odkrycie wiąże się z paradoksem opisanym w połowie ubiegłego wieku przez austriackiego matematyka Kurta Gödla.

Matematyk Shai Ben-David i jego zespół zaprezentowali model uczenia maszynowego zwany przewidywaniem maksymalnym (EMX) w publikacji w czasopiśmie Nature. Wydawałoby się, że proste zadanie okazało się dla sztucznej inteligencji niemożliwe. Problem postawiony przez zespół Shay Ben-David sprowadza się do przewidzenia najbardziej dochodowej kampanii reklamowej, skierowanej do czytelników, którzy najczęściej odwiedzają serwis. Ilość możliwości jest tak duża, że ​​sieć neuronowa nie jest w stanie znaleźć funkcji, która poprawnie przewidziała zachowanie użytkowników serwisu, mając do dyspozycji jedynie niewielką próbkę danych.

Okazało się, że niektóre problemy stwarzane przez sieci neuronowe są równoważne z hipotezą continuum postawioną przez Georga Cantora. Niemiecki matematyk udowodnił, że moc zbioru liczb naturalnych jest mniejsza niż moc zbioru liczb rzeczywistych. Następnie zadał pytanie, na które nie mógł odpowiedzieć. Mianowicie zastanawiał się, czy istnieje zbiór nieskończony, którego kardynalność jest mniejsza niż kardynalność zbiór liczb rzeczywistychale więcej mocy zbiór liczb naturalnych.

Austriacki matematyk z XX wieku. Kurt Gödel udowodnili, że hipoteza continuum jest nierozstrzygalna w obecnym systemie matematycznym. Teraz okazuje się, że z podobnym problemem zmierzyli się matematycy projektujący sieci neuronowe.

Tak więc, choć dla nas niewidoczna, jak widzimy, jest bezradna wobec fundamentalnych ograniczeń. Naukowcy zastanawiają się, czy z problemami tej klasy, jak np. zbiory nieskończone.