Na nowy rok szkolny

Większość czytelników była gdzieś na wakacjach – czy to w naszym pięknym kraju, w krajach sąsiednich, a może nawet za granicą. Korzystajmy z tego, póki granice są dla nas otwarte... Jaki znak był najczęstszym znakiem podczas naszych krótkich i długich podróży? Jest to strzałka wskazująca zjazd z autostrady, kontynuację górskiego szlaku, wejście do muzeum, wejście na plażę i tak dalej, i tak dalej. Co jest w tym wszystkim takiego interesującego? Niezbyt dobry matematycznie. Ale pomyślmy: ten znak jest oczywisty dla każdego... przedstawiciele cywilizacji, w której kiedyś strzelali z łuku. To prawda, że ​​​​nie da się tego udowodnić. Nie znamy innej cywilizacji. Jednak matematycznie ciekawszy jest pięciokąt foremny i jego odmiana w kształcie gwiazdy - pentagram.

Nie musimy mieć żadnego wykształcenia, aby uznać te liczby za intrygujące i interesujące. Jeśli, Czytelniku, piłeś pięciogwiazdkowy koniak w pięciogwiazdkowym hotelu na Place des Stars w Paryżu, to może... urodziłeś się pod szczęśliwą gwiazdą. Gdy ktoś poprosi nas o narysowanie gwiazdy, bez wahania narysujemy pięcioramienną, a gdy rozmówca będzie zaskoczony: „To jest symbol byłego ZSRR!”, możemy odpowiedzieć: Stajnie!”

Pentagram, czyli pięcioramienna gwiazda, pięciokąt foremny, został opanowany przez całą ludzkość. Co najmniej jedna czwarta krajów, w tym Stany Zjednoczone i były ZSRR, umieściła go na swoich emblematach. Jako dzieci nauczyliśmy się rysować pięcioramienną gwiazdę, nie odrywając ołówka od kartki. W wieku dorosłym staje się naszą gwiazdą przewodnią, niezmienną, odległą, symbolem nadziei i przeznaczenia, wyrocznią. Spójrzmy na to z zewnątrz.

Co mówią nam gwiazdy?

Historycy są zgodni: aż do VII wieku p.n.e. dziedzictwo intelektualne narodów Europy pozostawało w cieniu kultur Babilonu, Egiptu i Fenicji. I nagle VI wiek przynosi odrodzenie i tak szybki rozwój kultury i nauki, że niektórzy dziennikarze (np. Däniken) twierdzą – trudno powiedzieć, czy sami w to wierzą – że nie byłoby to możliwe bez interwencji więźniowie. z kosmosu.

W przypadku Grecji sprawa ma racjonalne wytłumaczenie: w wyniku migracji ludów mieszkańcy Półwyspu Peloponeskiego dowiadują się więcej o kulturze sąsiednich krajów (np. litery fenickie przenikają do Grecji i poprawiają alfabet ), a oni sami zaczynają kolonizować basen Morza Śródziemnego. Są to zawsze bardzo sprzyjające warunki dla rozwoju nauki: samodzielność połączona z kontaktami ze światem. Bez niepodległości skazujemy się na los bananowych republik Ameryki Środkowej, bez kontaktów na Koreę Północną.

Liczby mają znaczenie

VI wiek p.n.e. był stuleciem szczególnym w historii ludzkości. Trzej wielcy myśliciele nauczali, nie wiedząc o sobie nawzajem lub być może nie słysząc o sobie: Budda, Konfucjusz i Pitagoras. Pierwsze dwie stworzyły religie i systemy filozoficzne, które istnieją do dziś. Czy rola trzeciego z nich ogranicza się do odkrycia tej czy innej właściwości konkretnego trójkąta?

Na przełomie VII i VI wieku (ok. 624 - ok. 546 pne) w Milecie we współczesnej Azji Mniejszej żyli Taki. Jedne źródła podają, że był naukowcem, inne, że bogatym kupcem, a jeszcze inne, że przedsiębiorcą (podobno w ciągu jednego roku kupił wszystkie prasy do oleju, a następnie pożyczył je za lichwiarską zapłatę). Niektórzy, zgodnie z panującą modą i modelem uprawiania nauki, widzą w nim z kolei mecenasa: podobno zaprosił mędrców, nakarmił ich i leczył, a potem powiedział: „No to pracujcie na chwałę ja i cała nauka”. Jednak wiele poważnych źródeł skłania się ku twierdzeniu, że Tales, z krwi i kości, w ogóle nie istniał, a jego imię służyło jedynie jako personifikacja określonych idei. Jak było, tak było i pewnie nigdy się tego nie dowiemy. Historyk matematyki E. D. Smith napisał, że gdyby nie było Talesa, nie byłoby Pitagorasa i nikogo takiego jak Pitagoras, a bez Pitagorasa nie byłoby ani Platona, ani nikogo takiego jak Platon. Bardziej prawdopodobne. Zostawmy jednak na boku, co by było, gdyby.

Pitagoras (ok. 572 - ok. 497 p.n.e.) nauczał w Krotonie w południowych Włoszech i to właśnie tam narodził się ruch intelektualny nazwany imieniem mistrza: pitagoreizm. Był to ruch i stowarzyszenie etyczno-religijne, oparte, jak byśmy to dzisiaj nazwali, na tajemnicach i tajemnych naukach, traktujące studiowanie nauki jako jeden ze sposobów oczyszczenia duszy. W ciągu jednego lub dwóch pokoleń pitagoreizm przeszedł zwykłe etapy rozwoju idei: początkowy wzrost i ekspansję, kryzys i upadek. Naprawdę świetne pomysły nie kończą się na tym i nigdy nie umierają na zawsze. Intelektualna nauka Pitagorasa (wynalazł on określenie, które sam siebie nazwał: filozof, czyli przyjaciel mądrości) i jego uczniów dominowała przez całą starożytność, następnie powróciła w epoce renesansu (pod nazwą panteizmu) i rzeczywiście jesteśmy pod jej wpływem. Dzisiaj. Zasady pitagoreizmu są tak zakorzenione w kulturze (przynajmniej w kulturze europejskiej), że trudno nam sobie wyobrazić, że moglibyśmy myśleć inaczej. Jesteśmy nie mniej zaskoczeni niż pan Jourdain Moliera, który ze zdziwieniem dowiedział się, że przez całe życie mówił prozą.

Główną ideą pitagoreizmu było przekonanie, że świat jest urządzony według ścisłego planu i harmonii, a powołaniem człowieka jest poznanie tej harmonii. I właśnie myślenie o harmonii świata stanowi naukę pitagoreizmu. Pitagorejczycy byli z pewnością zarówno mistykami, jak i matematykami, choć dopiero dzisiaj łatwo jest ich sklasyfikować tak potocznie. Utorowali drogę. Rozpoczęli badania nad harmonią świata, najpierw studiując muzykę, astronomię, arytmetykę itp.

Choć ludzkość „na zawsze” uległa magii, dopiero szkoła pitagorejska podniosła ją do rangi powszechnie obowiązującego prawa. „Liczby czynią pokój” – to hasło było najlepszą cechą charakterystyczną szkoły. Liczby miały duszę. Każdy coś znaczył, każdy coś symbolizował, każdy odzwierciedlał cząstkę tej harmonii Wszechświata, tj. przestrzeń. Samo słowo oznacza „porządek, porządek” (czytelniczki wiedzą, że kosmetyki wygładzają twarz i poprawiają urodę).

Różne źródła podają różne znaczenia, jakie pitagorejczycy nadali każdej liczbie. Tak czy inaczej, ta sama liczba może symbolizować kilka koncepcji. Najważniejsze były sześć (liczba idealna) I dziesięć - suma kolejnych liczb 1 + 2 + 3 + 4, złożona z innych liczb, których symbolika przetrwała do dziś.

Pitagoras nauczał więc, że liczby są początkiem i źródłem wszystkiego, że – jeśli sobie wyobrazisz – „mieszają się” ze sobą, a my widzimy tylko skutki tego, co robią. Stworzony, a raczej rozwinięty przez Pitagorasa mistycyzm liczb nie ma dziś „dobrego druku” i nawet poważni autorzy widzą w nim mieszankę „patosu i absurdu” lub „nauki, mistycyzmu i czystej przesady”. Trudno zrozumieć, jak słynny historyk Aleksander Krawczuk mógł napisać, że Pitagoras i jego uczniowie wypełniali filozofię wizjami, mitami, przesądami – jakby nic nie rozumieli. Bo to tylko tak wygląda z punktu widzenia naszego XX wieku. Pitagorejczycy niczego nie napinali, tworzyli swoje teorie z czystym sumieniem. Może za kilka stuleci ktoś napisze, że cała teoria względności też była absurdalna, pretensjonalna i wymuszona. A numeryczna symbolika, która dzieliła nas od Pitagorasa na ćwierć miliona lat, głęboko wniknęła w kulturę i stała się jej częścią, jak mity greckie i niemieckie, średniowieczne eposy rycerskie, rosyjskie opowieści ludowe o Koście czy wizja Juliusza Słowackiego słowiański papież.

Tajemnicza irracjonalność

W geometrii Pitagorejczycy byli zdumieni figurami-podobnymi. I właśnie podczas analizy twierdzenia Talesa, podstawowego prawa dotyczącego reguł podobieństwa, doszło do katastrofy. Odkryto niewspółmierne sekcje, a co za tym idzie liczby niewymierne. Epizody, których nie można zmierzyć żadną ogólną miarą. Liczby, które nie są proporcjami. I odkryto go w jednym z najprostszych kształtów: w kwadracie.

Dziś w nauce szkolnej pomijamy ten fakt, niemal go nie zauważając. Czy przekątna kwadratu jest równa √2? Świetnie, ile to może być? Wciskamy dwa przyciski na kalkulatorze: 1,4142... OK, już wiemy, ile wynosi pierwiastek kwadratowy z dwóch. Który? Czy to jest irracjonalne? Dzieje się tak prawdopodobnie dlatego, że używamy tak dziwnego znaku, ale w rzeczywistości to jest 1,4142. W końcu kalkulator nie kłamie.

Jeśli czytelnik uważa, że ​​przesadzam, to... bardzo dobrze. Podobno w polskich szkołach nie jest tak źle, jak np. w brytyjskich, gdzie o to chodzi bezmiar gdzieś pomiędzy baśniami.

W języku polskim słowo „irracjonalny” nie jest tak straszne, jak jego odpowiednik w innych językach europejskich. Liczby wymierne są wymierne, racjonalne, razalne, tj.

Rozważmy rozumowanie, że √2 to liczba niewymierna, to znaczy nie jest to żaden ułamek p/q, gdzie p i q są liczbami całkowitymi. We współczesnym języku wygląda to tak... Załóżmy, że √2 = p/q i że tego ułamka nie da się już skrócić. W szczególności zarówno p, jak i q są nieparzyste. Podnieśmy to do kwadratu: 2q²=p². Liczba p nie może być nieparzysta, ponieważ wtedy p² byłoby również, a lewa strona równości jest wielokrotnością 2. Stąd p jest parzyste, tj. p = 2r, stąd p²= 4 lata². Redukujemy równanie 2q²= 4 lata². dostajemy d²= 2 lata² i widzimy, że q również musi być parzyste, ale założyliśmy, że tak nie jest. Otrzymane sprzeczność dowód się kończy - ten wzór można znaleźć od czasu do czasu w każdej książce matematycznej. Ten poszlakowy dowód jest ulubioną sztuczką sofistów.

Chciałbym jednak podkreślić, że jest to rozumowanie nowoczesne – pitagorejczycy nie mieli tak rozwiniętego aparatu algebraicznego. Szukali ogólnej miary boku kwadratu i jego przekątnej, co doprowadziło ich do wniosku, że taka ogólna miara nie może istnieć. Założenie o jego istnieniu prowadzi do sprzeczności. Solidny grunt osunął się spod moich stóp. Wszystko musi dać się opisać liczbami, a przekątna kwadratu, którą każdy może narysować kijem w piasku, nie ma długości (czyli mierzalnej, bo innych liczb nie ma). „Daremna była nasza wiara” – zdają się mawiać pitagorejczycy. Co robić?

Próbowano uciec metodami sekciarskimi. Każdy, kto odważy się odkryć istnienie liczb niewymiernych, zostanie ukarany śmiercią, a najwyraźniej sam mistrz – wbrew przykazaniu łagodności – wykonuje pierwsze zdanie. Wtedy wszystko staje się kurtyną. Według jednej wersji Pitagorejczycy zostali zabici (nieco uratowani i dzięki nim cała idea nie została zabrana do grobu), według innej sami uczniowie, tak posłuszni, wypędzają uwielbianego mistrza, a on gdzieś kończy swoje życie na wygnaniu . Sekta przestaje istnieć.

Wszyscy znamy powiedzenie Winstona Churchilla: „Nigdy w historii ludzkich konfliktów tak wielu ludzi nie zawdzięczało tak wiele tak nielicznym”. Chodziło o pilotów, którzy w 1940 roku bronili Anglii przed niemieckimi samolotami. Jeśli zamienimy „ludzkie konflikty” na „ludzkie myśli”, to powiedzenie odnosi się do garstki pitagorejczyków, którzy uciekli (tak mało) z pogromu pod koniec XX wieku. VI wiek pne.

Zatem „myśl ta przeszła bez szwanku”. Co dalej? Nadchodzi złoty wiek. Grecy pokonują Persów (Maraton – 490 p.n.e., Platezhe – 479). Demokracja się wzmacnia. Powstają nowe ośrodki myśli filozoficznej i nowe szkoły. Zwolennicy pitagoreizmu stają przed problemem liczb niewymiernych. Niektórzy mówią: „Nie zrozumiemy tej tajemnicy; możemy tylko to kontemplować i podziwiać Uncharted.” Ci drudzy są bardziej pragmatyczni i nie szanują Tajemnicy: „Jeśli coś jest nie tak z tymi liczbami, zostawmy je w spokoju, za około 2500 lat wszystko stanie się znane. Może liczby nie rządzą światem? Zacznijmy od geometrii. Nie liczby są już ważne, ale ich proporcje i relacje.”

Zwolennicy pierwszego kierunku znani są historykom matematyki jako akustyka, Przeżyli jeszcze kilka stuleci i tyle. Ci ostatni wymienili się matematyka (z greckiego mathein = wiedzieć, uczyć się). Nie trzeba nikomu tłumaczyć, że właśnie takie podejście zwyciężyło: żyje już dwadzieścia pięć wieków i kwitnie.

Zwycięstwo matematyków nad ausmatyką wyraziło się w szczególności w pojawieniu się nowego symbolu pitagorejczyków: odtąd był to pentagram (pentás = pięć, gramma = litera, napis) - pięciokąt foremny w kształcie gwiazda. Jego gałęzie przecinają się niezwykle proporcjonalnie: całość zawsze odnosi się do większej części, a większa część do mniejszej. Nazwał boska proporcja, następnie zsekularyzowany złoto. Starożytni Grecy (a po nich cały świat eurocentryczny) uważali, że ta proporcja jest najbardziej przyjemna dla ludzkiego oka i znajdowali ją niemal wszędzie.

(Cyprian Camille Norwid, „Prometidion”)

Zakończę kolejnym fragmentem, tym razem z wiersza „Faust” (w tłumaczeniu Władysława Augusta Kostelskiego). Cóż, pentagram to także obraz pięciu zmysłów i słynna „stopa czarnoksiężnika”. W wierszu Goethego doktor Faust chciał uchronić się przed diabłem, malując ten symbol na progu swojego domu. Zrobił to od niechcenia i oto co się stało:

Faust

Mefistofeles

Faust

A to wszystko o typowym pięciokącie na początku nowego roku szkolnego.