Koronawirus i edukacja matematyczna – zbiory częściowo zlecone

Wirus, który nas zainfekował, powoduje szybką reformę edukacji. zwłaszcza na wyższych poziomach edukacji. Można by na ten temat napisać dłuższy esej, z pewnością pojawi się strumień prac doktorskich na temat metod nauczania na odległość. Z pewnego punktu widzenia jest to powrót do korzeni i zapomnianych nawyków samokształcenia. Tak było na przykład w gimnazjum w Krzemieniecu (w Krzemieniecu, obecnie na Ukrainie, które istniało w latach 1805-31, wegetowało do 1914 r., a swój rozkwit przeżywało w latach 1922-1939). Uczniowie uczyli się tam samodzielnie – dopiero gdy się nauczyli, przychodzili nauczyciele z poprawkami, ostatecznymi wyjaśnieniami, pomocą w trudnych miejscach itp. d. Gdy zostałem studentem, też mi powiedziano, że wiedzę trzeba zdobywać sami, że zajęcia na uczelni można tylko zamawiać i wysyłać. Ale wtedy to była tylko teoria...

Wiosną 2020 roku nie tylko ja odkryłem, że lekcje (w tym wykłady, ćwiczenia itp.) można bardzo skutecznie prowadzić zdalnie (Google Meet, Microsoft Teams itp.), kosztem dużej ilości pracy ze strony nauczyciela, az drugiej strony pragnienie „zdobycia wykształcenia”; ale też z pewną wygodą: siedzę w domu, w fotelu, a na tradycyjnych wykładach studenci często robili też coś innego. Efekt takiego treningu może być nawet lepszy niż w przypadku tradycyjnego, sięgającego średniowiecza systemu lekcji. Co z niego zostanie, gdy wirus pójdzie do piekła? Myślę… całkiem sporo. Ale zobaczymy.

Dzisiaj opowiem o częściowo zamówionych zestawach. To proste. Ponieważ relacja binarna w niepustym zbiorze X nazywana jest relacją porządku częściowego, jeśli istnieje

(Tadeusz Kotarbiński, 1886-1981, filozof,

Prezes Polskiej Akademii Nauk w latach 1957–1962).

1. Refleksyjne, czyli dla każdego ∈ jest ",
2. Przechodzień, czyli jeśli ", i ", to ",
3. Półasymetryczny, czyli («∧«)→ =

Wiersz to zbiór o następującej właściwości: dla dowolnych dwóch elementów jest to zbiór „lub y”. Antichain jest...

Przestań, przestań! Czy cokolwiek z tego można zrozumieć? Oczywiście, że jest. Ale czy któryś z Czytelników (wiedząc inaczej) już zrozumiał, co tu jest?

Nie sądzę! I to jest kanon nauczania matematyki. Również w szkole. Najpierw przyzwoita, ścisła definicja, a potem ci, którzy nie zasnęli z nudów, na pewno coś zrozumieją. Ta metoda została narzucona przez „wielkich” nauczycieli matematyki. Musi być ostrożny i surowy. Prawdą jest, że w końcu tak powinno być. Matematyka musi być nauką ścisłą (Zobacz też: ).

Muszę przyznać, że na uczelni, na której pracuję po przejściu na emeryturę z UW, przez tyle lat też uczyłem. Tylko w nim znajdowało się osławione wiadro zimnej wody (niech tak zostanie: wiadro było potrzebne!). Nagle wysoka abstrakcja stała się lekka i przyjemna. Skup się: łatwe nie znaczy łatwe. Lekki bokser też ma trudności.

Uśmiecham się do swoich wspomnień. Podstaw matematyki uczył mnie ówczesny dziekan wydziału, pierwszoklasowy matematyk, który właśnie przyjechał z długiego pobytu w Stanach Zjednoczonych, co samo w sobie było wówczas czymś niezwykłym. Myślę, że była trochę snobistyczna, kiedy trochę zapomniała po polsku. Nadużywała staropolskiego „co”, „dlatego”, „azalii” i ukuła termin „związek półasymetryczny”. Uwielbiam go używać, jest naprawdę dokładny. Lubię. Ale nie wymagam tego od studentów. Jest to powszechnie określane jako „niska antysymetria”. Dziesięć pięknych.

Dawno, bo w latach siedemdziesiątych ubiegłego wieku, przeprowadzono wielką, radosną reformę nauczania matematyki. Zbiegło się to z początkiem krótkiego okresu panowania Eduarda Gierka – zdecydowanego otwarcia naszego kraju na świat. „Dzieci można także uczyć wyższej matematyki” – wołali Wielcy Nauczyciele. Dla dzieci przygotowano podsumowanie wykładu uniwersyteckiego „Podstawy matematyki”. Był to trend nie tylko w Polsce, ale w całej Europie. Rozwiązanie równania nie wystarczyło, trzeba było wyjaśnić każdy szczegół. Żeby nie było bezpodstawnie, każdy z Czytelników może rozwiązać układ równań:

ale uczniowie musieli uzasadniać każdy krok, odwoływać się do odpowiednich stwierdzeń itp. Był to klasyczny przerost formy nad treścią. Łatwo mi teraz krytykować. Ja też byłem kiedyś zwolennikiem tego podejścia. To ekscytujące... dla młodych ludzi, którzy pasjonują się matematyką. To oczywiście było (i, dla uwagi, ja).

Ale dość dygresji, przejdźmy do rzeczy: wykład, który był „teoretycznie” przeznaczony dla studentów drugiego roku politechniki i byłby suchy jak płatki kokosowe, gdyby nie ona. Trochę przesadzam...

Dzień dobry Tobie. Dzisiejszym tematem jest częściowe oczyszczenie. Nie, nie jest to oznaka nieostrożnego czyszczenia. Lepszym porównaniem byłoby rozważenie, co jest lepsze: zupa pomidorowa czy kremówka. Odpowiedź jest jasna: zależy od czego. Na deser - ciasteczka, a na pożywne danie: zupa.

W matematyce zajmujemy się liczbami. Są uporządkowane: są większe i mniejsze, ale z dwóch różnych liczb jedna jest zawsze mniejsza, co oznacza, że ​​druga jest większa. Są ułożone w kolejności, jak litery w alfabecie. W dzienniku klasowym kolejność może być następująca: Adamczik, Baginskaya, Khoinitsky, Derkovsky, Elget, Filipov, Gzhechnik, Kholnitsky (są przyjaciółmi i kolegami z mojej klasy!). Nie mamy również wątpliwości, że Matusyak „Matushelyansky” Matushevsky „Matisyak. Symbol „podwójnej nierówności” ma znaczenie „przed”.

W moim klubie podróżniczym staramy się układać listy alfabetycznie, ale po imieniu np. Alina Wrońska „Warvara Kaczarska”, Cesar Bouschitz itp. W oficjalnych rejestrach kolejność byłaby odwrócona. Matematycy określają porządek alfabetyczny jako leksykograficzny (leksykon jest mniej więcej jak słownik). Z drugiej strony taki porządek, w którym w nazwie składającej się z dwóch części (Michał Szurek, Alina Wrońska, Stanisław Smazhinsky) patrzymy najpierw na część drugą, jest dla matematyków porządkiem antyleksykograficznym. Długie tytuły, ale bardzo prosta treść.

1. Porządek liniowy: stacje i przystanki na linii kolejowej Habówka-Zakopane z Podhala, zbudowanej w 1899 r. (Rozszyfrowanie skrótów pozostawiam czytelnikowi).

Wszystkie takie zlecenia nazywane są zleceniami liniowymi. Zamawiamy kolejno: pierwszy, drugi, trzeci. Wszystko jest w porządku, od pierwszego do ostatniego punktu. Nie zawsze ma to sens. W końcu książki w bibliotece układamy nie w ten sposób, ale w sekcje. Tylko wewnątrz działu układamy liniowo (najczęściej alfabetycznie).

2. Kolejność liniowa: uruchamiając silnik samochodu wykonujemy czynności w spójnej kolejności.

Przy większych projektach, zwłaszcza w pracy zespołowej, nie mamy już liniowego porządku. Spójrzmy na Figa. 3. Chcemy zbudować mały hotel. Mamy już pieniądze (komórka 0). Sporządzamy pozwolenia, zbieramy materiały, rozpoczynamy budowę, a jednocześnie prowadzimy kampanię reklamową, szukamy pracowników i tak dalej i tak dalej. Gdy dojdziemy do „10”, pierwsi goście mogą się zameldować (przykład z opowieści pana Dombrowskiego i ich małego hotelu na przedmieściach Krakowa). Mamy nieliniowy porządek – pewne rzeczy mogą dziać się równolegle.

Na ekonomii poznajesz pojęcie ścieżki krytycznej. Jest to zbiór czynności, które należy wykonać sekwencyjnie (i to się nazywa w matematyce łańcuchem, o tym za chwilę) i które zajmują najwięcej czasu. Skrócenie czasu budowy to reorganizacja ścieżki krytycznej. Ale o tym w innych wykładach (przypomnę, że wygłaszam „wykład uniwersytecki”). Skupiamy się na matematyce.

Diagramy takie jak Rysunek 3 nazywane są diagramami Hassego (Helmut Hasse, niemiecki matematyk, 1898–1979). W ten sposób należy zaplanować każdy złożony wysiłek. Widzimy sekwencje działań: 1-5-8-10, 2-6-8, 3-6, 4-7-9-10. Matematycy nazywają je strunami. Cały pomysł składa się z czterech łańcuchów. W przeciwieństwie do tego grupy aktywności 1-2-3-4, 5-6-7 i 8-9 są antyłańcuchami. Oto jak się nazywają. Faktem jest, że w określonej grupie żadne z działań nie zależy od poprzedniego.

4. To jest również diagram Hassego.

chodźmy do rysunek 4. Co jest imponujące? Ale może to być mapa metra w jakimś mieście! Koleje podziemne są zawsze pogrupowane w linie – nie przechodzą między sobą. Linie są oddzielnymi liniami. W mieście Fig. 4 jest piekarnik linia (pamiętaj, że piekarnik jest napisane "boldem" - po polsku nazywa się to pół-grubym).

Na tym schemacie (rys. 4) występuje krótki żółty ABF, sześciostanowiskowy ACFPS, zielony ADGL, niebieski DGMRT i najdłuższy czerwony. Matematyk powie: ten diagram Hassego ma piekarnik więzy. Jest na czerwonej linii siedem stacja: AEINRUW. A co z antyłańcuchami? Są oni siedem. Czytelnik już zauważył, że podwójnie podkreśliłem słowo siedem.

Antyłańcuch jest to taki zestaw stacji, że nie da się dostać z jednej na drugą bez przesiadki. Kiedy trochę „zrozumiemy”, zobaczymy następujące antyłańcuchy: A, BCLTV, DE, FGHJ, KMN, PU, ​​SR. Proszę sprawdzić, na przykład, że nie jest możliwe podróżowanie z żadnej ze stacji BCLTV do innej BCTLV bez przesiadki, a dokładniej: bez konieczności powrotu do stacji pokazanej poniżej. Ile jest antyłańcuchów? Siedem. Jaki rozmiar jest największy? Upiec (znowu pogrubioną czcionką).

Możecie sobie wyobrazić, studenci, że zbieżność tych liczb nie jest przypadkowa. Ten. Zostało to odkryte i udowodnione (czyli zawsze tak) w 1950 roku przez Roberta Palmera Dilwortha (1914-1993, amerykański matematyk). Liczba rzędów potrzebnych do pokrycia całego zestawu jest równa wielkości największego antyłańcucha i odwrotnie: liczba antyłańcuchów jest równa długości najdłuższego antyłańcucha. Tak jest zawsze w przypadku zestawu częściowo zamówionego, tj. taki, który można zwizualizować. Schemat Hassego. To nie jest do końca ścisła i poprawna definicja. To właśnie matematycy nazywają „definicją roboczą”. Różni się to nieco od „definicji roboczej”. To jest wskazówka, jak rozumieć częściowo uporządkowane zestawy. To ważna część każdego szkolenia: zobacz, jak to działa.

Angielski skrót brzmi – to słowo brzmi pięknie w językach słowiańskich, trochę jak oset. Zauważ, że oset jest również rozgałęziony.

Bardzo ładne, ale kto tego potrzebuje? Wy, drodzy studenci, potrzebujecie go, aby zdać egzamin, a to chyba wystarczający powód, aby go studiować. Słucham, jakie pytania? Podsłuchuję, pan spod okna. Och, pytanie brzmi, czy to kiedykolwiek przyda się Panu w twoim życiu? Może nie, ale na pewno dla kogoś mądrzejszego od Ciebie... Może do analizy ścieżki krytycznej w złożonym projekcie gospodarczym?

Piszę ten tekst w połowie czerwca, na Uniwersytecie Warszawskim trwają wybory na rektora. Przeczytałem kilka komentarzy internautów. Istnieje zaskakująca ilość nienawiści (lub „nienawiści”) do „ludzi wykształconych”. Ktoś wprost napisał, że osoby z wykształceniem wyższym wiedzą mniej niż osoby z wykształceniem wyższym. Oczywiście nie będę wdawał się w dyskusję. Przykro mi tylko, że powraca panująca w PRL opinia, że ​​młotkiem i dłutem da się wszystko zrobić. Wracam do matematyki.

Twierdzenie Dillwortha ma kilka ciekawych zastosowań. Jedno z nich znane jest jako twierdzenie o małżeństwie.Figa. 6). 

Jest grupa kobiet (raczej dziewcząt) i nieco większa grupa mężczyzn. Każda dziewczyna myśli coś takiego: „Mogłabym wyjść za tę, za inną, ale nigdy w życiu za trzecią”. I tak dalej, każdy ma swoje preferencje. Rysujemy schemat, prowadzący do każdego z nich strzałę od faceta, którego nie odrzuca jako kandydata na ołtarz. P: Czy pary można dobierać tak, aby każda znalazła męża, którego zaakceptowałaby?

Twierdzenie Philipa Halla, mówi, że da się to zrobić – pod pewnymi warunkami, których tutaj nie będę omawiał (wtedy, proszę studentów, na kolejnym wykładzie). Należy jednak pamiętać, że w ogóle nie ma tu wzmianki o męskiej satysfakcji. Jak wiadomo, to kobiety wybierają nas, a nie odwrotnie, jak myślimy (przypomnę, że to ja jestem autorką, a nie autorką).

Trochę poważnej matematyki. W jaki sposób twierdzenie Halla wynika z Dilwortha? To jest bardzo proste. Spójrzmy jeszcze raz na rysunek 6. Łańcuchy tam są bardzo krótkie: mają długość 2 (biegną w kierunku). Zestaw małych ludzików to antyłańcuch (właśnie dlatego, że strzałki wskazują tylko na siebie). W ten sposób możesz pokryć całą kolekcję tyloma antyłańcuchami, ilu jest mężczyzn. Tak więc każda kobieta będzie miała strzałkę. Co oznacza, że ​​może sprawiać wrażenie faceta, którego akceptuje!!!

Czekaj, ktoś zapyta, czy to już to? Czy to cała aplikacja? Hormony jakoś sobie radzą, a dlaczego matematyka? Po pierwsze, nie jest to cała aplikacja, a jedynie jedna z dużej serii. Przyjrzyjmy się jednemu z nich. Niech (ryc. 6) nie oznacza przedstawicieli lepszej płci, ale raczej prozaicznych nabywców, a są to marki, np. samochody, pralki, produkty odchudzające, oferty biur podróży itp. Każdy kupujący ma marki, które akceptuje i odrzuca. Czy można coś zrobić, żeby każdemu coś sprzedać i w jaki sposób? Tu nie tylko kończą się żarty, ale i wiedza autora artykułu na ten temat. Wiem tylko, że analiza opiera się na dość złożonej matematyce.

Nauczanie matematyki w szkole to nauka algorytmów. To ważna część nauki. Ale powoli zbliżamy się do nauczania nie tyle matematyki, ile metody matematycznej. Dzisiejszy wykład był właśnie o tym: mówimy o abstrakcyjnych konstrukcjach mentalnych, myślimy o życiu codziennym. Mówimy o łańcuchach i antyłańcuchach w zestawach z odwrotnymi, przechodnimi i innymi relacjami, które stosujemy w modelach sprzedawca-kupujący. Komputer wykona za nas wszystkie obliczenia. Nie stworzy jeszcze modeli matematycznych. Nadal wygrywamy naszym myśleniem. W każdym razie, miejmy nadzieję, jak najdłużej!