Jak oszukiwać, manipulować i przedstawiać się w korzystnym świetle w wielkości matematyki?

Na początku listopada 2020 r. Mateusz Morawiecki zwrócił się do matematyków z Centrum Modelowania Matematycznego, że wykazali, że Strajk Kobiet spowodował wzrost zakażeń o 5000 tys. Mam znajomych w tym Centrum – dowiedzieli się dopiero, że przewidzieli to z przemówienie pana - do Mateusza.

Chcę podkreślić, że – być może wbrew tytułowi artykułu – nie będę ani chwalił, ani krytykował obecnego premiera. Myślę, że matematyka nie jest jego mocną stroną, ale taki ubytek intelektualny nie wzbudzi u większości z Was sprzeciwu. I w ogóle, czy wielki matematyk nie byłby na odpowiedzialnym stanowisku, ale nie mądry w życiu i polityce? Wspomnę też, że Donald Tusk w swojej poprzedniej kampanii prezydenckiej powiedział (jakby żartem): „nie da się pisać egzaminów z matematyki bez ściągania”. Wiesz, chmura matematyczna to twój człowiek, tak jak ja. Julian Tuwim snobistycznie wyrażał się o swojej nieznajomości matematyki. I wezwali mnie do tablicy. Zaznaczę tylko, że mieliśmy w Polsce premierę z matematyki. Był to (pięciokrotnie) Kazimierz Bartel, 1882-1941, rektor Politechniki Lwowskiej, znakomity geometra. Nie mogę i nie próbuję osądzać jego panowania.

Wycieranie ust jest zjawiskiem powszechnym i starym. Napisano o tym książki, cienkie i grube. Sposobów jest wiele, opowiem o kilku, zacznę od tych, które szyje się grubymi nićmi. Być może w przeszłości takich metod było jeszcze więcej, bo w monumentalnym i pierwszym w swoim rodzaju Słowniku języka polskiego Samuela Bogumiła Linde (wyd. w latach 1807-1814) czytamy:

Matematyk, matematyk matematyczny, żongler matematyczny.

Nie znamy najprostszych czynności, a bardzo chcemy się wykazać. Kilka lat temu dziennikarz z Olsztyna napisał obszerne exposé o tym, jak oszukują nas producenci. Na przykład: na opakowaniu masła jest napisane „zawartość tłuszczu 85 procent” - czy to 85 procent w kostce czy w kilogramie? Cała Polska zaćwierkała. Ale tylko bystrzy nauczyciele matematyki (czyli wszyscy nauczyciele matematyki!) zauważyli błąd w rozumowaniu jednego z naszych byłych premierów, Kazimierza Martsinkiewicza, wiele lat temu. Zmienię trochę numery, żeby było łatwiej widzieć. Powiedział coś takiego: wydaliśmy 150 mln zł na budowę dróg, a z Brukseli dostaliśmy 50 mln, więc wydamy tylko 100. Zaoszczędziliśmy 50 proc. Cóż, 50/100 to 50 procent. Gdzie jest błąd? A gdybyśmy mieli 100 milionów, ile byśmy zaoszczędzili? Błąd jest subtelny. Mówiąc o procentach, ważne jest, aby wyjaśnić, skąd je bierzemy. To bardzo częsty błąd popełniany przez nauczycieli. Mówią, że procent to jedna setna. To jest niedozwolone! Sto procent, ale zawsze to coś. Jeśli wydamy 150 i wydamy 100, zaoszczędzimy 50 ze 150, czyli 33%. Premier Martsinkevich był nauczycielem fizyki. Albo był tak złym nauczycielem, że nie rozumiał procentów, albo celowo nimi manipulował, żeby uzyskać jak najlepszy efekt polityczny. Właściwie wolałbym to drugie. Przypomnę bardzo starą, przedwojenną anegdotę. „Tato, zaoszczędziłem dziś 20 centów!” „To bardzo dobrze, synu! Jak? „Nie jechałem tramwajem do szkoły, pobiegłem za nim!” „Ach, synu, biegnij drugi raz po taksówkę – zaoszczędzisz 5 zł!”

Pomysły, pomysły! Większość pomysłów tzw. kreatywnej rachunkowości opiera się na lukach prawnych (prawo pisane na kolanie = bzdura) i jest mylona z pojęciem przeciętności. Oto przykład: jak zwiększyć pensję wszystkich pracowników, jednocześnie zmniejszając średnią pensję? Proste: dawaj niewielkie podwyżki osobom już zatrudnionym, jednocześnie zatrudniając wiele nisko opłacanych osób. Średnia spadnie... a w warunkach problemu nie było mowy o globalnym funduszu płac. Podobno do 1989 r. tak zachowywał się pewien dyrektor przedsiębiorstwa państwowego.

Można walczyć bezpośrednio, wykorzystując analfabetyzm matematyczny wielu kręgów społeczeństwa i łącząc matematykę (??) z literaturą (??). Oto demagogiczny, ale fikcyjny tekst (choć oparty na prawdziwej publikacji, sprzed 2010 roku w celach informacyjnych).

Pielęgniarki będą miały się lepiej. Dwa lata temu średnia pensja netto pielęgniarki w powiecie sochaczewskim wynosiła 1500 zł. W ubiegłym roku rząd zwiększył wydatki na służbę zdrowia o pół miliarda złotych. Będzie to dwukrotnie więcej niż w latach ubiegłych. Hermenegilda Kotsyubinskaya, pielęgniarka Centralnego Szpitala Klinicznego, mówi: W zeszłym miesiącu moja pensja wyniosła 4500 zł. Oznacza to ogromny, bo trzykrotny wzrost przychodów w służbie zdrowia.

Czy naprawdę nie ma kogo oszukać? Nawet jeśli liczby są takie same, widać, że tutaj porównujemy Średnia wypłata w szpitalu wojewódzkim z wynagrodzeniem jednej osoby w danym miesiącu. Może Hermenegilda jest przełożoną pielęgniarek, może miała w tym miesiącu dużo dodatkowych dyżurów, a poza tym Centralny Szpital Powiatowy ma specjalną siatkę wynagrodzeń? Ponadto wspomniane 1500 500 500 zł to wynagrodzenie netto, przy czym nie podano, czy wynagrodzenie pani Kociubińskiej jest wynagrodzeniem netto, czy brutto. Pół miliarda to ogromna kwota dla jednostki, ale co to oznacza w skali kraju? Od razu zauważmy, że „pół miliarda” brzmi lepiej propagandowo niż „500 milionów”. Nie podano, na co przeznaczono XNUMX mln zł. Nie wiadomo, dlaczego XNUMX mln zł to dwa razy więcej.

Jak mogę poprawić swoje wyniki w nauce? Szkoła X jest krytykowana przez władze oświatowe za niskie wyniki w nauce (czyli niską średnią ocen, choć to różne rzeczy!). Dyrektor szkoły znajduje sposób na poprawę sytuacji. Awansuje kilku uczniów z klasy A do klasy B i osiąga swój cel: wzrosła średnia ocen w obu klasach.

Jak to jest możliwe? Jeśli w klasie A jest uczeń, którego średnia ocen jest niższa od średniej w klasie A, ale wyższa od średniej w klasie B, przeniesienie go do klasy B będzie miało taki sam skutek. Wiara opiera się na tym efekcie Mechysław Chuma i Leszek Mazan, autorzy Encyklopedii Galicyjskiej (Wydawnictwo Anabasis, Kraków), że w dniu przeprowadzki Zygmunta III Wazy wraz z dworem do Warszawy, w obu tych miastach wzrósł średni poziom inteligencji.

Mamy tendencję do interpretowania danych. Jest to najczęstsze rozciąganie nieelementarne. Zacznę od najgłupszego, ale najbardziej wiarygodnego przykładu. Wiele, wiele lat temu nieistniejący już „Express Wieczorny” donosił, że średnia pensja na Uniwersytecie Warszawskim wyniesie 15000 tys. 24 zł (wtedy zł). Najwyższą pensję miał otrzymać rektor, bo 6, najniższa asystent startowy, 15. Średnia to XNUMX!!! manipulacja pojęcie przeciętności jest tematem habilitacji.

Oto dwa kolejne przykłady. Czy wiesz, że przeciętny Polak ma mniej niż dwie nogi? Cóż, tak: są tacy, którzy mają jeden, ale nikt nie ma trzech! Drugi przykład jest bardziej subtelny. Cóż, moja żona i ja mamy własne samochody. Mój przewoźnik zużywa dużo paliwa, 12,5 litra na 100 km. Oznacza to, że na 100 km potrzebuję 8 litrów. Moja żona ma malutkie Mitsubishi - spala 8 litrów na 100 km. To też dużo, ale aby obliczenia były proste, dane trzeba trochę przetworzyć. Często jeździmy tym samym. Dlatego średnie spalanie naszych dwóch aut to średnia arytmetyczna 8 i 12,5. Dodaj, podziel przez 2. Okazuje się, że 10,25 litra. Oczywiście ważne jest to, że często jeździmy tą samą drogą. Gdzie zatem pole do manipulacji?

Och, tutaj. Czy wiesz, że w USA zużycie paliwa oblicza się inaczej? Odpowiedzą: „Na jednym galonie zyskam tyle mil”. Zostawmy przeliczanie galonów na litry i mil na kilometry, ale zastosujmy to do wyżej wymienionych samochodów: mojego i Jedynej Rady Nadzorczej Naszego Małżeństwa. Na jednym litrze przejadę tylko 8 km (100 podzielone przez 12,5), moja żona 12,5 km (100 podzielone przez 8). Średnio jeden litr zajmie nam... średnią arytmetyczną tych liczb. Już to kiedyś obliczyliśmy. Okazuje się, że to 10 i ćwierć – tym razem 10,25 km.

Wróćmy do standardów europejskich. Jeśli przejadę 10,25 km na jednym litrze, ile litrów potrzebujesz na 100? Weźmy kalkulator: 100 podzielone przez 10,25 daje... 9,76. Średnie spalanie naszych aut to 9,76... a wcześniej było to 10,25. Gdzie jest błąd? NIE! Właściwie nie w matematyce, ale w interpretacji słów „podróżujemy równie często”. Wnikliwa analiza wykaże, że w pierwszej interpretacji oznacza to „miesięcznie przejeżdżamy taką samą liczbę kilometrów”, aw drugiej „zużywamy taką samą ilość benzyny”. Można by dodać jeszcze trzecią zmienną: tyle samo czasu spędzamy za kierownicą (żona jeździ znacznie szybciej)… i byłoby inaczej. Jeśli coś mierzymy, musimy mieć przy sobie taśmę mierniczą.

Bardziej subtelne sytuacje. Paradoks Simpsona. Przyjrzyjmy się, co lepiej usuwa łupież: Coca-Cola czy Pepsi-Cola. Testujemy na kobietach i mężczyznach. Oto dane. Prawie wszystkie obliczenia można wykonać w pamięci.

Proszę, Czytelniku, usiądź. Żeby tylko nie wypaść z tego uczucia. Który napój najlepiej usuwa łupież u mężczyzn? Większe cyfry zaznaczyłem na czerwono, a mniejsze na niebiesko. 25 to więcej niż 20, prawda? Panowie: kupujcie Coca-Colę na łupież! A co z kobietami? Pewnie odwrotnie? Nie, 60>53. Drogie Panie, pijcie Coca-Colę.

Firma wykupuje reklamę w telewizji, gdzie szczęśliwa para (po staroświecku: mężczyzna i kobieta) za pomocą Coca-Coli pozbywa się tej drobnej choroby. Ale są reklamy Pepsi. Ano dlatego, że na teście zarówno tutaj, jak i tutaj było 250 osób, czyli tyle samo. Coca-Cola pomogła 80 osobom (32%), Pepsi pomogła 100 osobom, 40%. Na ekranie tłum łuszczy się, podczas gdy przed kamerą toczy się puszka Pepsi. „Nasze pokolenie już wybrało!”

Gdzie jest błąd? NIE. To znaczy, matematyka jest w porządku. Albo raczej po prostu arytmetyka. Aby być poprawnym matematycznie, musimy pobrać porównywalne próbki z taką samą proporcją M jak K. W przeciwnym razie obliczenia nie mają sensu, jak gdybyśmy obliczali średnią wagę komara i słonia. Potrafimy dodawać i dzielić przez dwa. Co obliczyliśmy? Cóż, średnia waga komara i słonia. Co nam to da? Wątek.

Ale przenieśmy to na grunt polityki, oczywiście w USA. Zwolennicy jednego z kandydatów, jak mówi Bump, płakaliby: jesteśmy lepsi i dla pań, i dla panów. Głosuj na Józefa Podskoka! Zwolennicy Tridena pisali na banerach: Jesteśmy lepsi na całym świecie. Głosuj na kaczkę za 3 deniery (Donald).

Ok, jak jest naprawdę? To najtrudniejsza część. Co to znaczy „naprawdę”? Możemy powiedzieć: „Prawdą jest to, co zgadza się z rzeczywistością”. Powstaje jednak kolejne pytanie: jak mierzyć „zgodność z rzeczywistością”? Ale to już nie jest matematyka i chciałbym się jej trzymać, bo tylko tutaj czuję się pewnie.

O tym paradoksie (tzw Paradoks Simpsonów) opiera się na wielu, wielu innych. Znana jest w matematyce od stu lat, ale (stosunkowo) niedawno zainteresowały się nią nauki społeczne. Wszystko zaczęło się od tego, że na jednym z amerykańskich uniwersytetów rektor zauważył, że dziewczęta są akceptowane znacznie mniej niż chłopcy. Poprosiła dziekanów o sprawozdania... i okazało się, że na każdym wydziale stosunek przyjętych do kandydatów był wyższy dla dziewcząt niż dla chłopców - wręcz przeciwnie. Polecam czytelnikowi przełożyć przykład Pepsi i Coca-Coli na sytuację wydziałów uniwersyteckich.

Jeszcze bardziej subtelna sytuacja. Każdy w świecie matematyki zna „przykład z Nebraski”. Gdzieś w Nebrasce splądrowano sklep i obrabowano kasę fiskalną. Świadkowie pamiętali tylko, że zrobiła to dziwna para: ciemnoskóry mężczyzna z brodą i kobieta o orientalnych rysach. Wyjechali (z piskiem opon jak na filmie) żółtą Toyotą. Kilka godzin później policja zatrzymała... żółtą toyotę, w której znajdował się brodaty Afroamerykanin w towarzystwie Azjatki. "To ty!". Kajdanki, sąd. Doświadczony matematyk obliczył, że taki zestaw (Murzyn + Azjata + żółta Toyota) jest na tyle wyjątkowy, że 99,999% złodziei jest poszukiwanych. Rzucił na korytarz zapamiętane terminy: zdarzenia elementarne, diagram Bernoulliego, spójnik. Para poszła usiąść. Zatrudnili jednak najlepszego matematyka, który w apelu powiedział: „Dobrze. Sami oceńcie, mój poprzednik obliczył, że prawdopodobieństwo, że przypadkowo napotkanym samochodem z dwoma pasażerami będzie żółta Toyota z czarną i Japonką jest takie a takie. Ale tutaj musimy rozwiązać inny problem, prawdopodobieństwo warunkowe. Jakie jest prawdopodobieństwo spotkania kolejnej pary (lub trzech, jeśli włączymy maszynę), jeśli wiemy, że taka już istnieje. »

Nie wiemy, czy sędzia zrozumiał któryś z argumentów. Być może tylko tyle, że odpowiedź zależy od wyboru sytuacji. To wystarczyło. Uchylił wyrok.

Uderzenie słupem w głowę. Zawsze traktowaliśmy ten rodzaj demagogii (1).

Kraty są okropne: ceny węgla podwoiły się. Już samo spojrzenie na liczby jest zachęcające: rzeczywiście wzrosły one ze 161 zł za tonę do 169 zł (ćwiczenie: o jaki procent?). Ponieważ jednak większość ludzi jest wzrokowcami, zapamiętają wykres, a nie liczby. Nie wdając się w dyskusje polityczne, muszę powiedzieć, że podobną metodę zastosował rząd (ten z lata 2020 r.), wprowadzając zwiększenie wydatków na nowotwory. To nie jest krytyka tego rządu. Następny również będzie korzystał z tej metody. Jest bezpieczny i daje natychmiastowy („widoczny”) efekt.

Nośmy maski. Prawa rozprzestrzeniania się epidemii są proste i „same w sobie” nieubłagane. Liczba zarażonych rośnie szybciej, im więcej ich już jest. Tak idzie lawina. Tak mówi matematyka. Jest jednak jedno duże „ale” – może więcej niż jedno. Po pierwsze, tak jest, podczas gdy „nic się nie dzieje”. Kiedy lawina w lesie zostanie zatrzymana, kiedy epidemia zostanie spowolniona przez mądre zachowanie nas wszystkich, wtedy nie tyle „podziękujemy” matematyce, co stworzymy inny model. Tak, inny model matematyczny (jak w przypadku napadu na sklep w Nebrasce). Matematyka, piękna nauka, tylko pomaga zrozumieć świat. Tak wielu - ale tylko tak wielu. Zobaczmy: z tyczką skaczemy prawie sześć metrów, bez niej nie skoczymy nawet 2,50. Następnie weź kij w rękę i skocz. Jest cholernie uciążliwy, prawda?

wykorzystanie matematyka w naukach społecznych jest to trudne, niebezpieczne i co gorsza, kuszące. Koneserom tatr kojarzy się z wąwozem Drege: łagodnym, trawiastym zejściem z Granatu do Czornego Stawu... Tak to wygląda z góry. Wkrótce wąwóz zamienia się w pułapkę, z której może nas uratować tylko TOPR.

Matematycy nazywają ten wzrost lawin i epidemii wzrostem wykładniczym. Jak już pisałem, wzrost ten można zahamować, ale nie ponownie. Przyjrzyjmy się jednak dwóm wykresom tej samej krzywej (tylko w innej skali). Dla tych, którzy rozumieją, oto wzór tej funkcji: y = 2^xdwa do władzy. Proszę spojrzeć na wykresy. W którym momencie wzrost gwałtownie przyspiesza? Każdy wskaże: jest to mniej więcej blisko punktu oznaczonego dużą kropką. Ale na pierwszym wykresie wartość ta jest bliska 1,5, na drugim jest większa niż 3, a na trzecim 4,5. Jeśli więc będą jakieś demonstracje uliczne, to możemy powiedzieć: no proszę, od momentu demonstracji krzywa poszła w górę, ostro w górę. W wielkości matematyki! A to jest po prostu właściwość krzywej wykładniczej. Można dowolnie wybrać odpowiednią skalę i punkt, od którego rozpoczyna się gwałtowne przyspieszanie (2).

Wybory prezydenckie... oczywiście w USA. Wciąż pamiętamy farsę z listopada 2020 roku. Kraj, który nadal jest potęgą nr 1, nie nadąża za liczbą stron. W końcu okazało się, że Joe Biden nie tylko zdobył więcej głosów elektorskich, ale wygrałby, gdyby decyzja została podjęta zwykłą większością głosów. W sytuacji, którą opiszę, nie ma żadnej matematycznej manipulacji – to tylko przykład tego, jak wynik wyborów może zależeć od przyjętej uchwały. Jeśli wiesz, trudno protestować. Obrońca w piłce nożnej może uznać zakaz za piłkę ręczną za niewłaściwy, ale jeśli zostanie zignorowany, zostanie przyznany rzut karny.

Wyobraźmy sobie, że o urząd prezydenta Grecji ubiegają się: Apoloniusz, Euklides, Czapla, Pitagoras i Taki. Ten, kogo wybiorą wyborcy, zostanie prezydentem. Jest ich 100. Zostali wybrani w wyborach powszechnych, a następnie partie reprezentowane w parlamencie, czyli Circus Maximus, ustaliły kolejność swoich preferencji. Coś jest nie tak, ponieważ Circus Maximus to nazwa łacińska, a nie grecka. Ale nie kłóćmy się ze źródłami.

Kto zostanie prezydentem? Zobaczmy, jak to zależy od święceń. Preferencje partii należy rozumieć w ten sposób, że jej wyborcy głosują na pierwszą osobę z listy, która pozostanie w wyborach po kolejnej turze.

Jeżeli w orzeczeniu zostanie zapisane, że wygrywa kandydat, który jako pierwszy zdobędzie najwięcej głosów, zwycięży Pitagoras, ponieważ zostanie wybrany przez 25 + 9 = 34 wyborców. Tak właśnie dzieje się w szkole, kiedy wybieramy na przykład najlepszego ucznia. U nas: Pitagoras został wybrany przez lud!
We współczesnych wyborach prezydenckich najczęściej stosowany jest system drugiej tury. Głosujemy na jednego kandydata, ale jeśli żaden nie przekroczy 50 proc., przeprowadza się drugą turę. Zwycięzcą zostaje ten, który otrzyma bezwzględną większość głosów, czyli po prostu więcej głosów niż jego przeciwnik. W tej sytuacji do drugiej tury przejdą Pitagoras (34 głosy) i Tales (20). W drugiej turze wyborcy rozdzielają głosy zgodnie ze swoimi preferencjami. Wszyscy oprócz pitagorejczyków wolą Talesa od Pitagorasa. To częsta sytuacja, gdy partia ma twardy elektorat i otacza ją ogólna niechęć. Zatem w dogrywce Pitagoras nie otrzyma ani jednego głosu. Wynik to 66:34 na korzyść Thalesa i zdecydowane zwycięstwo. Podobna sytuacja miała miejsce w 2001 roku na Słowacji, gdzie kandydat, który wyraźnie wygrał pierwszą turę, przegrał w drugiej. To samo wydarzyło się w wyborach prezydenckich w Polsce w 2005 roku: lider został pokonany w drugiej turze po pierwszej. Niech żyją Opowieści Prezydenckie!
Wyścigi kolarskie korzystają z tak zwanego systemu australijskiego. Po każdym okrążeniu toru eliminowany jest ostatni. Ta wersja prawa wyborczego nazywa się „wyborami dyrektorów”. W tym systemie wybrany został pierwszy prezydent niepodległej Polski, Gabriel Narutowicz. Jak by to wyglądało w naszej Grecji?

Sprawa jest bardziej skomplikowana. Proszę śledzić. W pierwszej turze Euclid otrzymał najmniej głosów i odpadł (szkoda, taki dobry matematyk!). Następnie partia głosuje w drugiej turze na drugą ze swojej listy: Tsaplya. W drugiej turze Czapla ma 19 + 10 = 29 głosów. Apoloniusz zostaje wyeliminowany (17 głosów). Party, a potem głosować na Herona. W trzeciej turze Pitagoras (ustalony elektorat) ma 34 głosy, Tales 20 i Czapla 29 + 17 = 46 głosów. Historie się skończyły. Falezjanie (Partia B) też nie lubią Pitagorejczyków - wolą heroldów. Inni też, z wyjątkiem stabilnych partii A i E. W ostatniej turze Heron z łatwością pokonuje Pitagorasa 66:34. Ożyw Prezydenta Heron!

4. Na Konkursie Piosenki Eurowizji za pierwsze miejsce na liście przyznano 12 punktów, za drugie miejsce 10, za trzecie 9 i tak dalej. Załóżmy w przybliżeniu ten sam wynik 6-4-3-2-1. Tak przyznawano punkty w trzech meczach lekkoatletycznych (trzy drużyny, po dwóch zawodników w każdej konkurencji; Polska w 1958 roku pokonała USA i Wielką Brytanię!). Nasze wyniki będą następujące:

Euklides: 4+2+3+4+6+4=23.

Apoloniusz: 2+3+4+5+3+3=20.

Цапля: 1+4+6+3+4+1=19.

Сказки: 3+6+2+2+2+2=17.

Pitagoras: 6+1+1+1+1+6=16.

Grecy, oto wasz prezydent Euklides!

5. Czytelnicy domyślają się, że wystarczy policzyć głosy, żeby okazało się, że Apoloniusz jest najlepszy. I rzeczywiście Apoloniusz jest najlepszy – bo jest najlepszy. Wszyscy przegrywają z Apoloniuszem! Dlaczego?

Ilu elektorów umieściło Apoloniusza nad Czaplą? Policzmy: 25+17+9=51, czyli większość. Niewiele, ale jednak.

O ile Apoloniusz wyprzedza Euklidesa? 20 + 19 + 17 = 56, większość z nich.

Ile osób woli Apoloniusza od Talesa: 19+17+10+9=55>50.

Wreszcie Apoloniusz z Pitagorasa preferuje 20 + 19 + 17 + 10 = 66 elektorów na 100.

Od tego czasu - naród grecki, zdolny do logicznego myślenia - od tego czasu Apoloniusz preferuje przede wszystkim każdego innego kandydata; w końcu to on powinien nami rządzić przez kolejną kadencję! Podejdź bliżej, Apoloniuszu, nasz wybrany prezydencie! Będziesz naszym 44.