Geometryczne ścieżki i zarośla
Pisząc ten artykuł przypomniała mi się bardzo stara piosenka Jana Pietrzaka, którą śpiewał przed swoją działalnością satyryczną w kabarecie Pod Egidą, uznawanym w PRL-u za wentyl bezpieczeństwa; można było szczerze śmiać się z paradoksów systemu. W tej piosence autor zalecał socjalistyczny udział w życiu politycznym, wyśmiewając tych, którzy chcą być apolityczni i wyłączając radio w gazecie. „Lepiej wrócić do szkolnego czytania” - ironicznie śpiewał ówczesny XNUMX-letni Petshak.
Wracam do czytania w szkole. Czytam ponownie (nie po raz pierwszy) książkę Szczepana Jeleńskiego (1881-1949) „Lylawati”. Dla nielicznych czytelników samo słowo coś mówi. Tak miała na imię córka słynnego hinduskiego matematyka znanego jako Bhaskara (1114-1185), imieniem Akaria, czyli mędrzec, który zatytułował swoją książkę o algebrze tym imieniem. Lilavati sama została później znanym matematykiem i filozofem. Według innych źródeł to ona sama napisała książkę.
Szczepan Jeleński nadał ten sam tytuł swojej książce o matematyce (pierwsze wydanie, 1926). Trudno nawet nazwać tę książkę dziełem matematycznym – był to raczej zbiór łamigłówek, w dużej mierze przepisany ze źródeł francuskich (prawa autorskie we współczesnym tego słowa znaczeniu nie istniały). W każdym razie przez wiele lat była to jedyna popularna polska książka o matematyce – później dodano do niej drugą książkę Jeleńskiego, Słodycze Pitagorasa. Tak więc młodzi ludzie zainteresowani matematyką (a dokładnie nią kiedyś byłem) nie mieli w czym wybierać...
z drugiej strony "Lilavati" trzeba było znać prawie na pamięć... Ach, to były czasy... Ich największą zaletą było to, że byłam wtedy... nastolatką. Dziś z punktu widzenia dobrze wykształconego matematyka patrzę na Lilavati zupełnie inaczej – może jak wspinacz na zakrętach ścieżki na Shpiglasova Pshelench. Ani jedno, ani drugie nie traci na uroku... W charakterystycznym dla siebie stylu Szczepan Jeleński, wyznający w życiu osobistym tzw. idee narodowe, pisze we wstępie:
Nie wchodząc w opis cech narodowych, powiem, że nawet po dziewięćdziesięciu latach słowa Jeleńskiego o matematyce nie straciły na aktualności. Matematyka uczy myślenia. To jest fakt. Czy możemy nauczyć Cię myśleć inaczej, prościej i piękniej? Może. Po prostu... nadal nie możemy. Moim uczniom, którzy nie chcą zajmować się matematyką, tłumaczę, że jest to również test na ich inteligencję. Jeśli nie możesz nauczyć się naprawdę prostej teorii matematycznej, to... może twoje zdolności umysłowe są gorsze, niż oboje byśmy chcieli...?
Znaki na piasku
A oto pierwsza historia w „Lylavati” – historia opisana przez francuskiego filozofa Josepha de Maistre (1753-1821).
Marynarz z rozbitego statku został wyrzucony falami na pusty brzeg, który uważał za niezamieszkały. Nagle na nadmorskim piasku dostrzegł ślad geometrycznej figury narysowanej przed kimś. Wtedy zdał sobie sprawę, że wyspa nie jest bezludna!
Cytując de Mestri, Jelenski pisze: figura geometrycznabyłoby to nieme określenie dla niefortunnego, rozbitka, zbiegu okoliczności, ale on pokazywał mu na pierwszy rzut oka proporcje i liczbę, a to zwiastowało człowieka oświeconego. Tyle z historii.
Zwróć uwagę, że taką samą reakcję wywoła marynarz, na przykład rysując literę K, ... i wszelkie inne ślady obecności danej osoby. Tutaj geometria jest wyidealizowana.
Jednak astronom Camille Flammarion (1847-1925) zaproponował, aby cywilizacje pozdrawiały się na odległość za pomocą geometrii. Widział w tym jedyną słuszną i możliwą próbę komunikacji. Pokażmy takim Marsjanom trójkąty pitagorejskie...oni nam odpowiedzą Talesem, my odpowiemy im wzorami Vieta, ich koło zmieści się w trójkącie, tak zaczęła się przyjaźń...
Pisarze tacy jak Juliusz Verne i Stanisław Lem wrócili do tego pomysłu. A w 1972 roku kafelki z geometrycznymi (i nie tylko) wzorami umieszczono na pokładzie sondy Pioneer, która do dziś przemierza przestrzenie kosmiczne, teraz prawie 140 jednostek astronomicznych od nas (1 I to średnia odległość Ziemi od Ziemi) . Słońca, czyli około 149 milionów km). Płytka została częściowo zaprojektowana przez astronoma Franka Drake'a, twórcę kontrowersyjnej reguły dotyczącej liczby cywilizacji pozaziemskich.
Geometria jest niesamowita. Wszyscy znamy ogólny punkt widzenia na genezę tej nauki. My (my, ludzie) właśnie zaczęliśmy mierzyć ziemię (a później ziemię) dla najbardziej utylitarnych celów. Wyznaczanie odległości, rysowanie linii prostych, oznaczanie kątów prostych i obliczanie objętości stało się stopniowo koniecznością. Stąd całość geometria („Pomiar ziemi”), stąd cała matematyka…
Jednak przez jakiś czas ten wyraźny obraz historii nauki zaciemniał nas. Bo gdyby matematyka była potrzebna wyłącznie do celów operacyjnych, nie zajmowalibyśmy się dowodzeniem prostych twierdzeń. „Widzisz, że to w ogóle powinno być prawdą”, powiedziałbyś po sprawdzeniu, że w kilku trójkątach prostokątnych suma kwadratów przeciwprostokątnych jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej. Skąd taki formalizm?
Ciasto ze śliwkami musi być pyszne, program komputerowy musi działać, maszyna musi działać. Skoro trzydzieści razy przeliczyłem pojemność beczki i wszystko jest w porządku, to po co jeszcze?
Tymczasem starożytni Grecy doszli do wniosku, że trzeba znaleźć jakieś formalne dowody.
Tak więc matematyka zaczyna się od Talesa (625-547 pne). Przypuszcza się, że to Milet zaczął się zastanawiać, dlaczego. Mądrym ludziom nie wystarczy, że coś widzieli, że są o czymś przekonani. Widzieli potrzebę dowodu, logicznej sekwencji argumentów od założenia do tezy.
Chcieli też więcej. Prawdopodobnie Tales jako pierwszy próbował wyjaśnić zjawiska fizyczne w sposób naturalistyczny, bez boskiej interwencji. Filozofia europejska zaczęła się od filozofii przyrody – od tego, co jest już poza fizyką (stąd nazwa: metafizyka). Ale fundamenty europejskiej ontologii i filozofii przyrody położyli pitagorejczycy (Pitagoras, ok. 580-ok. 500 pne).
Założył własną szkołę w Crotone na południu Półwyspu Apenińskiego – dziś nazwalibyśmy ją sektą. Nauka (w obecnym znaczeniu tego słowa), mistycyzm, religia i fantazja są ze sobą ściśle powiązane. Tomasz Mann bardzo pięknie przedstawił lekcje matematyki w niemieckim gimnazjum w powieści Doktor Faustus. W tłumaczeniu Marii Kuretskiej i Witolda Wirpszy fragment ten brzmi:
W interesującej książce Charlesa van Dorena, The History of Knowledge from the Dawn of History to the Present Day, znalazłem bardzo interesujący punkt widzenia. W jednym z rozdziałów autor opisuje znaczenie szkoły pitagorejskiej. Uderzył mnie sam tytuł rozdziału. Brzmi: „Wynalazek matematyki: pitagorejczycy”.
Często dyskutujemy o tym, czy teorie matematyczne są odkrywane (np. nieznane lądy), czy też wynajdywane (np. maszyny, których wcześniej nie było). Niektórzy kreatywni matematycy uważają się za badaczy, inni za wynalazców lub projektantów, rzadziej za liczniki.
Ale autor tej książki pisze ogólnie o wynalezieniu matematyki.
Od przesady do złudzenia
Po tym przydługim wstępie przejdę do samego początku. geometriaaby opisać, w jaki sposób nadmierne poleganie na geometrii może wprowadzić naukowca w błąd. Johannes Kepler jest znany w fizyce i astronomii jako odkrywca trzech praw ruchu ciał niebieskich. Po pierwsze, każda planeta w Układzie Słonecznym porusza się wokół Słońca po eliptycznej orbicie, której jednym z ognisk jest Słońce. Po drugie, w regularnych odstępach promień wiodący planety, poprowadzony od Słońca, rysuje równe pola. Po trzecie, stosunek kwadratu okresu obiegu planety wokół Słońca do sześcianu wielkiej półosi jej orbity (tj. średniej odległości od Słońca) jest stały dla wszystkich planet Układu Słonecznego.
Być może było to trzecie prawo - jego ustalenie wymagało wielu danych i obliczeń, co skłoniło Keplera do dalszych poszukiwań wzorców w ruchu i położeniu planet. Historia jego nowego „odkrycia” jest bardzo pouczająca. Od starożytności podziwialiśmy nie tylko wielościany foremne, ale także argumenty wskazujące, że w kosmosie jest ich tylko pięć. Trójwymiarowy wielościan nazywamy regularnym, jeśli jego ściany są identycznymi wielokątami foremnymi, a każdy wierzchołek ma taką samą liczbę krawędzi. Obrazowo, każdy róg regularnego wielościanu powinien „wyglądać tak samo”. Najbardziej znanym wielościanem jest sześcian. Każdy widział zwykłą kostkę.
Regularny czworościan jest mniej znany iw szkole nazywany jest regularną trójkątną piramidą. Wygląda jak piramida. Pozostałe trzy regularne wielościany są mniej znane. Ośmiościan powstaje, gdy łączymy środki krawędzi sześcianu. Dwunastościan i dwudziestościan już wyglądają jak kule. Wykonane z miękkiej skóry, byłyby wygodne do kopania. Rozumowanie, że nie ma innych regularnych wielościanów niż pięć brył platońskich, jest bardzo dobre. Po pierwsze, zdajemy sobie sprawę, że jeśli ciało jest regularne, to ta sama liczba (niech q) identycznych regularnych wielokątów musi zbiegać się w każdym wierzchołku, niech to będą p-kąty. Teraz musimy pamiętać, jaki jest kąt w regularnym wielokącie. Jeśli ktoś nie pamięta ze szkoły, przypominamy jak znaleźć odpowiedni wzór. Zrobiliśmy sobie wycieczkę za rogiem. W każdym wierzchołku obracamy się o ten sam kąt a. Gdy obejdziemy wielokąt i wrócimy do punktu startu, zrobiliśmy p takich zakrętów iw sumie obróciliśmy się o 360 stopni.
Ale α jest uzupełnieniem o 180 stopni kąta, który chcemy obliczyć, i dlatego jest
Znaleźliśmy wzór na kąt (matematyk powiedziałby: miarę kąta) wielokąta foremnego. Sprawdźmy: w trójkącie p = 3 nie ma a
Lubię to. Gdy p = 4 (kwadrat), to
stopnie też są w porządku.
Co dostajemy za pięciokąt? Co się dzieje, gdy istnieje q wielokątów, z których każdy p ma te same kąty
stopni malejących w jednym wierzchołku? Gdyby znajdował się na płaszczyźnie, utworzyłby się kąt
stopni i nie może być większy niż 360 stopni - bo wtedy wielokąty nachodzą na siebie.
Ponieważ jednak te wielokąty spotykają się w przestrzeni, kąt musi być mniejszy niż pełny kąt.
A oto nierówność, z której to wszystko wynika:
Podziel to przez 180, pomnóż obie części przez p, rząd (p-2) (q-2) < 4. Co dalej? Miejmy świadomość, że p i q muszą być liczbami naturalnymi i że p > 2 (dlaczego? A co to jest p?), a także q > 2. Nie ma wielu sposobów, aby iloczyn dwóch liczb naturalnych był mniejszy niż 4. Mamy wymienię je wszystkie w tabeli 1.
Rysunków nie zamieszczam, każdy może zobaczyć te figury w Internecie... W Internecie... Nie odmówię lirycznej dygresji - może to zainteresuje młodych czytelników. W 1970 przemawiałem na seminarium. Temat był trudny. Miałem mało czasu na przygotowania, siedziałem wieczorami. Główny artykuł był dostępny tylko do odczytu. Miejsce było przytulne, z atmosferą pracy, cóż, zamykano o siódmej. Potem sama panna młoda (obecnie moja żona) zaproponowała, że przepisze dla mnie cały artykuł: około tuzina wydrukowanych stron. Skopiowałem (nie, nie gęsim piórem, nawet pióra mieliśmy), wykład udany. Dzisiaj próbowałem znaleźć tę publikację, która jest już stara. Pamiętam tylko nazwisko autora... Poszukiwania w Internecie trwały długo... pełne piętnaście minut. Myślę o tym z uśmiechem i trochę nieuzasadnionym żalem.
wracamy do Keplera i geometria. Najwyraźniej Platon przewidział istnienie piątej formy regularnej, ponieważ brakowało mu czegoś jednoczącego, obejmującego cały świat. Być może dlatego polecił jej odszukać uczniowi (Teajtet). Jak było, tak było, na podstawie którego odkryto dwunastościan. Nazywamy to podejście panteizmem Platona. Wszyscy naukowcy, aż do Newtona, ulegali jej w mniejszym lub większym stopniu. Od wysoce racjonalnego XVIII wieku jego wpływ drastycznie zmalał, choć nie powinniśmy się wstydzić tego, że wszyscy ulegamy mu w taki czy inny sposób.
W Keplerowskiej koncepcji budowy Układu Słonecznego wszystko się zgadzało, dane eksperymentalne pokrywały się z teorią, teoria była spójna logicznie, bardzo piękna… ale całkowicie fałszywa. W jego czasach znanych było tylko sześć planet: Merkury, Wenus, Ziemia, Mars, Jowisz i Saturn. Dlaczego jest tylko sześć planet? — zapytał Kepler. A jaka prawidłowość określa ich odległość od Słońca? Zakładał, że wszystko jest połączone, że geometria i kosmogonia są ze sobą blisko spokrewnieni. Z pism starożytnych Greków wiedział, że istnieje tylko pięć regularnych wielościanów. Zobaczył, że między sześcioma orbitami jest pięć pustych przestrzeni. Może więc każda z tych wolnych przestrzeni odpowiada jakiemuś regularnemu wielościanowi?
Po kilku latach obserwacji i prac teoretycznych stworzył następującą teorię, za pomocą której dość dokładnie obliczył wymiary orbit, którą przedstawił w wydanej w 1596 roku książce „Mysterium Cosmographicum”: Wyobraź sobie gigantyczną kulę, którego średnica jest średnicą orbity Merkurego w jego rocznym ruchu wokół Słońca. Następnie wyobraź sobie, że na tej kuli znajduje się ośmiościan foremny, na niej kula, na niej dwudziestościan, na niej znowu kula, na niej dwunastościan, na niej inna kula, na niej czworościan, potem znowu kula, sześcian i wreszcie na tym sześcianie opisana jest piłka.
Kepler doszedł do wniosku, że średnice tych kolejnych kul są średnicami orbit innych planet: Merkurego, Wenus, Ziemi, Marsa, Jowisza i Saturna. Teoria wydawała się bardzo trafna. Niestety, zbiegło się to z danymi eksperymentalnymi. A jaki lepszy dowód poprawności teorii matematycznej niż jej zgodność z danymi eksperymentalnymi lub danymi obserwacyjnymi, zwłaszcza „wziętymi z nieba”? Podsumowałem te obliczenia w Tabeli 2. Co więc zrobił Kepler? Próbowałem i próbowałem, aż się udało, czyli kiedy konfiguracja (kolejność sfer) i wynikające z tego obliczenia pokrywały się z danymi obserwacyjnymi. Oto współczesne dane i obliczenia Keplera:
Można ulec fascynacji teorią i uwierzyć, że pomiary na niebie są niedokładne, a nie obliczenia dokonane w zaciszu warsztatu. Niestety, dziś wiemy, że planet jest co najmniej dziewięć i że wszystkie zbieżności wyników są tylko zbiegami okoliczności. Szkoda. Było tak pięknie...
