Podziel na pół - trójkąty i kwadraty

Nadszedł nowy rok, 2019. To nie jest liczba pierwsza. Suma cyfr wynosi 2 + 0 + 1 + 9 = 12, co oznacza, że ​​liczba jest podzielna przez 3. Na liczbę pierwszą trzeba będzie długo czekać, aż do 2027 roku. Jednak bardzo niewielu czytelników tego odcinka dożyje dwudziestego drugiego wieku. Ale z pewnością tacy są na tym świecie, zwłaszcza płeć piękna. Jestem zazdrosny? Niezupełnie... Ale muszę pisać o matematyce. Ostatnio coraz więcej piszę o szkolnictwie podstawowym.

Czy koło można podzielić na dwie równe połówki? Zdecydowanie. Jak nazywają się części, które otrzymasz? Tak, półkole. Czy podczas dzielenia koła jedną linią (jednym cięciem) konieczne jest narysowanie linii przechodzącej przez środek okręgu? Tak. Albo może nie? Pamiętaj, że to jedno cięcie, jedna linia prosta.

Czy jesteś przekonany, że wszyscy prosta przechodząca przez środek okręgu dzieli je na równe części? Czy jesteś przekonany, że aby podzielić okrąg na równe części jednej linii prostej, musisz poprowadzić go przez środek?

Uzasadnij swoją wiarę. A co to znaczy „usprawiedliwiać”? Dowód matematyczny różni się od „dowodu” w sensie prawnym. Adwokat musi przekonać sędziego i tym samym wymusić na Sądzie Najwyższym uznanie niewinności klienta. Dla mnie zawsze było to nie do przyjęcia: jak bardzo los oskarżonego zależy od elokwencji „papugi” (tak trochę lekceważąco charakteryzujemy adwokata).

Dla matematyka sama wiara nie wystarczy. Dowód musi być formalny, a teza musi być ostatnią formułą w logicznej kolejności od założenia. Jest to dość złożona koncepcja, której wdrożenie w życiu codziennym jest prawie niemożliwe.

Może tak jest lepiej: procesy i wyroki oparte na „logice matematycznej” byłyby po prostu… bezduszne. Podobno dzieje się tak coraz częściej. Ale chcę tylko och.

Nawet formalny dowód prostych rzeczy może sprawiać trudności. Jak udowodnić oba te przekonania o dzieleniu koła? Łatwiej jest najpierw każda prosta przechodząca przez środek dzieli okrąg na dwie równe części.

Możemy powiedzieć tak: obróćmy figurę na ryc. 1 o 180 stopni. Następnie zielone pole zmieni kolor na niebieski, a niebieskie pole na zielone. Dlatego muszą mieć równe kwadraty. Jeśli narysujesz linię nie przechodzącą przez środek, to jedno z pól będzie wyraźnie mniejsze.

Trójkąty i kwadraty

Więc przejdźmy dalej kwadratowy. Czy mamy to samo co:

1. każda prosta przechodząca przez środek kwadratu dzieli go na dwie równe części?
2. Jeśli prosta dzieli kwadrat na dwie równe części, to czy powinna przechodzić przez środek kwadratu?

Czy jesteśmy tego pewni? Inaczej jest w przypadku koła (2-7).

chodźmy do trójkąt równoboczny. Jak to przeciąć na pół? Łatwo - wystarczy odciąć górę i prostopadle do podstawy (8).

Przypominam, że podstawą trójkąta może być dowolny jego bok, nawet nachylony. Cięcie przechodzi przez środek trójkąta. Czy jakakolwiek prosta przechodząca przez środek trójkąta przecina go na pół?

NIE! Patrz ryc. 9. Każdy z kolorowych trójkątów ma takie samo pole (dlaczego?), więc górna część dużego trójkąta ma cztery, a dolna pięć. Stosunek pól nie wynosi 1:1, ale 4:5.

A co jeśli podzielimy bazę na powiedzmy cztery części i dzielimy trójkąt równoboczny przeciąć przez środek i przez punkt w jednej czwartej podstawy? Czytelniku, czy widzisz, że na rysunku 10 pole „turkusowego” trójkąta to 9/20 pola całego trójkąta? Nie widzisz? Szkoda, pozostawiam to do decyzji.

Pierwsze pytanie - wyjaśnij, jak to jest: Dzielę podstawę na cztery równe części, rysuję linię prostą przez punkt podziału i środek trójkąta, a po przeciwnej stronie dostaję dziwny podział, w stosunku 2:3? Dlaczego? możesz to obliczyć?

A może Ty, Czytelniku, jesteś w tym roku maturzystą? Jeśli tak, to określ w jakiej pozycji rzędów stosunek pól jest minimalny? Nie wiesz? Nie mówię, że masz to teraz naprawiać. Daję ci dwie godziny.

Jeśli go nie rozwiążesz, to... cóż, w każdym razie powodzenia na maturze. powrócę do tego tematu.

Obudź niezależność

- Czy można być zaskoczonym? Taki tytuł nosi książka wydana dawno temu przez magazyn Delta, miesięcznik matematyczno-fizyczny i astronomiczny. Przyjrzyj się otaczającemu Cię światu. Dlaczego są rzeki z piaszczystym dnem (w końcu woda powinna być natychmiast wchłaniana!).

Dlaczego chmury unoszą się w powietrzu? Dlaczego samolot leci? (powinien natychmiast spaść). Dlaczego czasem w górach na szczytach jest cieplej niż w dolinach? Dlaczego słońce na północy jest w południe na półkuli południowej? Dlaczego suma kwadratów przeciwprostokątnej jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej? Dlaczego ciało wydaje się tracić na wadze po zanurzeniu w wodzie, skoro wypiera wodę?

Pytania, pytania, pytania. Nie wszystkie z nich można od razu zastosować w życiu codziennym, ale prędzej czy później tak się stanie. Czy zdajesz sobie sprawę ze znaczenia ostatniego pytania (o wodę wypartą przez zanurzone ciało)? Zdając sobie z tego sprawę, starszy pan biegał nago po mieście i krzyczał: „Eureka, znalazłem!” Nie tylko odkrył prawa fizyki, ale także udowodnił, że jubiler Czapli Króla był fałszerzem!!! Zobacz szczegóły w czeluściach Internetu.

Teraz spójrzmy na inne kształty.

sześciokąt (11-14). Czy jakakolwiek linia przechodząca przez jego środek przecina go na pół? Czy prosta przecinająca sześciokąt powinna przechodzić przez jego środek?

Co powiesz na pięciokąt (15, 16)? Ośmiokąt (17)? I dla elipsy (18)?

Jednym z mankamentów nauki szkolnej jest to, że uczymy „w XIX wieku” – stawiamy uczniom problem i oczekujemy, że go rozwiążą. Co w tym złego? Nic – poza tym, że za kilka lat nasz uczeń będzie musiał nie tylko odpowiadać na polecenia, które od kogoś „otrzymał”, ale także dostrzegać problemy, formułować zadania, poruszać się po terenie, do którego jeszcze nikt nie dotarł.

Jestem już tak stara, że ​​marzę o takiej stabilności: „Ucz się, Janku, rób buty, a będziesz pracował jako szewc do końca życia”. Edukacja jako przejście do najwyższej kasty. Odsetki do końca życia.

Ale ja jestem na tyle „nowoczesna”, że wiem, że muszę przygotowywać swoich uczniów do zawodów, które… jeszcze nie istnieją. Najlepsze, co mogę i mogę zrobić, to pokazać uczniom: CZY ZMIENISZ SIEBIE? Nawet na poziomie elementarnej matematyki.

Zobacz także: